Tag Archives: Grassmann algebra

2010/11/17 · 21:38

álgebra exterior y formas diferenciales

una busqueda sencilla en la red (web) para álgebra exterior dará como resultado los items de la wikipedia, que proporciona una versión ranchera en wiki.es. También ranchera es la versión wiki.en.

El item en inglés, dice que el álgebra exterior se construye a partir de la base de un espacio vectorial $V={\rm gen}\{e_1,e_2,...,e_n\}$ y entonces

$\bigwedge^0(V)=\mathbb{R}$

$\bigwedge^1(V)={\rm gen}\{e_i\}=V$

$\bigwedge^2(V)={\rm gen}\{e_i\wedge e_j\}$

$\bigwedge^3(V)={\rm gen}\{e_i\wedge e_j\wedge e_k\}$

…

$\bigwedge^{n-1}(V)={\rm gen}\{e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_{n-1}}\}$

$\bigwedge^n(V)={\rm gen}\{e_1\wedge...\wedge e_n\}$

para finalmente determinar como el álgebra de Grassmann de $V$ es:

$\bigwedge(V)=\bigwedge^0(V)\oplus\bigwedge^1(V)\oplus...\oplus\bigwedge^n(V)$

Esta construcción es posible. Pero al comparar contra la explicada en este web-blog hemos elegido

$\bigwedge^0(V)=\mathbb{R}$

$\bigwedge^1(V)={\rm gen}\{e^i\}=V^*$

$\bigwedge^2(V)={\rm gen}\{e^i\wedge e^j\}$

$\bigwedge^3(V)={\rm gen}\{e^i\wedge e^j\wedge e^k\}$

…

$\bigwedge^{n-1}(V)={\rm gen}\{e^{i_1}\wedge...\wedge e^{i_{n-1}}\}$

$\bigwedge^n(V)={\rm gen}\{e^1\wedge...\wedge e^n\}$

¿Observas la diferencia? En la f-wikipedia les da lo mismo que los vectores sean filas o columnas, a nosotros no.

Nosotros elegimos la construcción del álgebra exterior acordemente para que las formas diferenciales coincidan con las convenciones de indexación como en Flanders del 1989 en su famoso artículo: “Differential forms” en el Studies in Mathematics 27 (“Global Differential Geometry”) de la Mathematical Asociation of America.

Del tal artículo la primera página es:

¿quieres más de esto?… síguete a flanders27-35 por aquí mismo…

Más evidencias… checa en la página 99 del “Gravitation” de Misner-Thorne-Wheeler:

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Filed under differential geometry, geometry, multilinear algebra

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2009/11/24 · 16:38

real multilinear algebra

el álgebra multilineal sobre los números reales, $\mathbb{R}$ , incluye a las formas diferenciales euclideas, ahí uno estudia la amalgama producida por el álgebra lineal y el cálculo en varias variables. Pero además si uno dispone del lenguage elemental del álgebra tensorial de espacios vectoriales sobre los reales, es decir la categoría ${\rm{Vect}}_{\mathbb{R}}$ , entonces uno puede incluir los principios de la geometría diferencial (de curvas y de superficies en $\mathbb{R}^3$ ) para obtener un curso realmente útil y moderno. En el mero corazón de esta teoría está el complejo de de Rham que permite construir los módulos cohomológicos del álgebra de Grassmann (módulo- $C^{\infty}$ ), de un conjunto abierto euclídeo.

Otra cosa es la complex multilinear algebra…

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2009/11/19 · 15:16

wedge complements in finite dimension

in the next counting experiment we are going to calculate the dimensions of some linear subspaces of the Grassmann algebra of a vector space of dimension $n$ .