real multilinear algebra


el álgebra multilineal sobre los números reales, \mathbb{R}, incluye a las formas diferenciales euclideas, ahí uno estudia la amalgama producida por el álgebra lineal y el cálculo en varias variables. Pero además si uno dispone del lenguage elemental del álgebra tensorial de espacios vectoriales sobre los reales, es decir la categoría {\rm{Vect}}_{\mathbb{R}}, entonces uno puede incluir los principios de la geometría diferencial (de curvas y de superficies en \mathbb{R}^3) para obtener un curso realmente útil y moderno. En el mero corazón de esta teoría está el complejo de de Rham que permite construir los módulos cohomológicos del álgebra de Grassmann (módulo-C^{\infty}), de un conjunto abierto euclídeo.

 

Otra cosa es la complex multilinear algebra…

2 Comments

Filed under algebra, categoría, Category, cucei math, multilinear algebra, what is math

2 responses to “real multilinear algebra

  1. c-qit

    since dd=0, then {\rm{im}}d\subset\ker d and

    H^k(\Omega,\mathbb{R})=\frac{\ker d}{{\rm{im}}d}

    which measure how in-exact the de Rham chain complex is…

  2. sqit

    in fact the main aspect nous have to retain in mind is to consider the algebra C^{\infty} over an open set in \Omega to build the module {\cal{X}}(\Omega) of the vector-fields and {\cal{X}}^*(\Omega) of covector-fields…

    C^{\infty}(\Omega)\times {\cal{X}}(\Omega)\to{\cal{X}}(\Omega)

    (f,X)\mapsto fX

    f(X^se_s)=(fX^s)e_s

    C^{\infty}(\Omega)\times {\cal{X}}(\Omega)^*\to{\cal{X}}(\Omega)^*

    (f,\omega)\mapsto f\omega

    f(w_sdx^s)=(fw_s)dx^s

    \Lambda^0(\Omega)=C^{\infty}(\Omega)

    \Lambda^1(\Omega)={\cal{X}}(\Omega)^*={\rm{gen}}_{C^{\infty}(\Omega)}\{dx^i\}

    \Lambda^2(\Omega)={\rm{gen}}_{C^{\infty}(\Omega)}\{dx^i\wedge dx^j\mid i<j\}

    \Lambda^3(\Omega)={\rm{gen}}_{C^{\infty}(\Omega)}\{dx^{\mu}\wedge dx^{\nu}\wedge dx^{\lambda}\mid \mu<\nu<\lambda\}

    \Lambda^k(\Omega)={\rm{gen}}_{C^{\infty}(\Omega)}\{dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k}\mid i_1<i_2<\cdots <i_k\}

    \Lambda^n(\Omega)={\rm{gen}}_{C^{\infty}(\Omega)}\{dx^1\wedge dx^2\wedge\cdots\wedge dx^n\}

    \Lambda^k(\Omega)\stackrel{d}\to\Lambda^{k+1}(\Omega)

    d\left(R_{i_1\cdots i_k}dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k}\right)=(dR_{i_1\cdots i_k})\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k}

    (dR_{i_1\cdots i_k})\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k}=\frac{\partial }{\partial x^s}(R_{i_1\cdots i_k})dx^s\wedge dx^{i_1}\wedge\cdots \wedge dx^{i_k}

    the de Rham's chain complex is

    \Lambda^0(\Omega)\stackrel{d}\to\Lambda^1(\Omega)\stackrel{d}\to\Lambda^2(\Omega)\stackrel{d}\to\cdots\stackrel{d}\to\Lambda^k(\Omega)\stackrel{d}\to\Lambda^{k+1}(\Omega)\stackrel{d}\to...\stackrel{d}\to\Lambda^n(\Omega)

    because dd=0 allows non trivial homology depending on the topology of \Omega

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