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simu exam


  1. Si la superficie \Sigma esta parametrizada por ve_1+we_2\to wE_1+vE_2+(v^2-w^2)E_3  -y-  p=E_1+2E_2+3E_3 es una posición de prueba, entonces calcula \nabla_FG cuando F(v,w)=v\partial_1+vw\partial_2 y G(v,w)=\partial_1+(v^2-w)\partial_2 en p
  2. Calcula todos los símbolos {\Gamma^i}_{jk} de la superficie \Sigma del problema anterior
  3. Si tenemos el campo vectorial  F=w\partial_1+v^2w\partial_2 en una superficie, entonces calcula: \nabla_FF la proyección tangente de D_FF, pero ahora en el paraboloide vE_1+wE_2+(v^2+w^2)E_3, en cualquier posición de la superficie
  4. Para no andar sufriendo al  calcular \nabla_FG uno necesita un procedimiento genérico dado por:

\nabla_FG=\nabla_{F^s\partial_s}(G^t\partial_t)

\qquad=F^s\nabla_{\partial_s}(G^t\partial_t)

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}\partial_t+G^t\nabla_{\partial_s}\partial_t]

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}\partial_t+G^t{\Gamma^u}_{st}\partial_u]

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}+G^u{\Gamma^t}_{su}]\partial_t

así que los componentes de \nabla_FG son:

F^s{G^t}_{,s}+F^sG^u{\Gamma^t}_{su}

esto último dice: como varía G en dirección F  -mas-  como interactúan -estos- en la geometría de la superficie…

 

5. Para demostrar que {\Gamma^A}_{BC}=\frac{1}{2}g^{AS}[g_{SC,B}+g_{BS,C}-g_{BC,S}], utilizamos la regla de Leibniz X\langle Y,Z\rangle=\langle D_XY,Z\rangle+\langle Y,D_XZ\rangle que particularizado

\partial_K\langle\partial_L,\partial_M\rangle=\langle D_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,D_{\partial_K}\partial_M\rangle

\partial_Kg_{LM}=\langle D_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,D_{\partial_K}\partial_M\rangle

Usando la ecuación de Gauss D_{\partial_K}\partial_L=\nabla_{\partial_K}\partial_L+\langle D_{\partial_K}\partial_L,N\rangle N entonces

g_{LM,K}=\langle \nabla_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,\nabla_{\partial_K}\partial_M\rangle

g_{LM,K}=\langle {\Gamma^S}_{KL}\partial_S,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,{\Gamma^S}_{KM}\partial_S\rangle

g_{LM,K}={\Gamma^S}_{KL}\langle\partial_S,\partial_M\rangle+{\Gamma^S}_{KM}\langle \partial_L,\partial_S\rangle

g_{LM,K}={\Gamma^S}_{KL}g_{SM}+{\Gamma^S}_{KM}g_{LS}

Ahora habría que ensamblar y simplificar g_{IJ,K}+g_{KI,J}-g_{KJ,I} . . .

 

6. Una curva C=C(t) en una superficie \Phi:\Omega\hookrightarrow\Sigma  queda especificada cuando decimos un map \alpha(t)=v(t)e_1+w(t)e_2 en \Omega y entonces C=\Phi\circ\alpha. Como C'=J\Phi\cdot\alpha' entonces

C'=v'\partial_1+w'\partial_2

C' representa el vector tangente a la curva C y arriba dice cuales son los componentes de C'\in T_p\Sigma. Entonces calcula los componentes de

  • D_{C'}C'… ¿son estos iguales a los componentes de  C''?
  • \nabla_{C'}C'

Se sabe desde hace 130 años aproximadamente que si la curva C satisface \nabla_{C'}C'=0 entonces la curva C tiene la propiedad de ser longitud de arco minimizante a lo largo de los puntos sobre los que camina, i.e. una geodésica. Los componentes de \nabla_{C'}C' -igualados a cero- son las mismas ecuaciones que provienen de la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar las funciones críticas de funcionales de la forma

A=\int_IF(x(t),x'(t),t)dt

donde se buscan las condiciones mediante las cuales x(t) extremize a A. Para la longitud de una curva en una superficie este funcional es con F=\sqrt{g_{\mu\nu}v'^{\mu}v'^{\nu}}

 

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à la Riesz


sabiendo que b^i=g^{si}b_s y que \beta^i(b_j)={\delta^i}_j tanto como \langle b^i,b_j\rangle={\delta^i}_j, entonces

\beta(\quad)=\langle b^i,\quad\rangle

o bien

\beta(X)=\langle b^i,X\rangle

para todo X\in V

 

Ahora para un covector arbitrario f\in V^* se tiene:

f(\quad)

f(X)=f(X^sb_s)=X^sf(b_s)   ————–  (A)

v.s.

f(b_s)\beta^s(\quad)

f(b_s)\beta^s(X)=f(b_s)\langle b^s,X\rangle

=f(b_s)\langle b^s,X^tb_t\rangle

=f(b_s)X^t\langle b^s,b_y\rangle

=f(b_s)X^t{\delta^s}_t

=f(b_s)X^s   —————  (B)

/..\!\!\cdot   (A,B)

f(\quad)=f(b_s)\beta^s(\quad)
=f(b_s)\langle b^s,\quad\rangle
=\langle f(b_s)b^s,\quad\rangle

o bien

f(X)=f(b_s)\beta^s(X)
=f(b_s)\langle b^s,X\rangle
=\langle f(b_s)b^s,X\rangle

para todo X\in V.

Es decir el representante del covector fà la Riesz- es:

f(b_s)b^s

esto es una combinación lineal en la base recíproca b^i de V, which represent the basic covectors \beta^i

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covariant derivative of covectors


How do you think that the covariant derivative in \mathbb{R}^3 is extended over covector fields defined over a surface \Phi:{\mathbb{R}}^2\hookrightarrow\Sigma\subset{\mathbb{R}}^3?

We use the Riesz Representation’s Lemma, so if

dx^k(\quad)=\langle\partial^k,\quad\rangle=\langle g^{sk}\partial_s,\quad\rangle

then

\nabla_{\partial_i}dx^k(\quad)=\langle \nabla_{\partial_i}\partial^k,\quad\rangle=\langle -{\Gamma^k}_{is}\partial^s,\quad\rangle

This implies that we have:

\nabla_{\partial_i}dx^k=-{\Gamma^k}_{is}dx^s

This contrast nicely with \nabla_{\partial_i}\partial_k={\Gamma^s}_{ik}\partial_s

For a general w=w_sdx^s, we use the Leibniz’s rule to get

\nabla_{\partial_i}w=({w_s}_{,i}-{w_t\Gamma^t}_{si})dx^s

and

\nabla_{\partial_i}(w\otimes\theta)=(\nabla_{\partial_i}w)\otimes\theta+w\otimes\nabla_{\partial_i}\theta

The proof that \nabla_{\partial_i}\partial^k=\nabla_{\partial_i}(g^{sk}\partial_s)=-{\Gamma^k}_{is}\partial^s is very fun!

You gotta remember firmly that the \partial^k=g^{sk}\partial_s form the reciprocal coordinated basis, still tangent vectors but representing (à la Riesz) the coordinated covectors dx^k.

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no entiendo


porqué es mediodifícil dar un ejemplo que ilustre la Regla de la Cadena para una composición de dos funciones escalares

{\mathbb{R}}\stackrel{f}\to{\mathbb{R}}\stackrel{g}\to{\mathbb{R}}

donde todo lo que hay que hacer es (g\circ f)'(p)=g'(fp)\cdot f'(p).

Este problem persiste aunque la persona ya haya entendido como es en el caso más general: {\mathbb{R}}^n\stackrel{F}\to{\mathbb{R}}^m\stackrel{G}\to{\mathbb{R}}^l

donde se va a cumplir J(G\circ F)(p)=JG(Fp)\cdot JF(p). Aveces usamos la notación J(G\circ F)|_p=JG(|_{Fp})\cdot JF|_p

Dejenme explicar con este ejemplo:

Si f(t)=t^2 y g(t)=t^3+1 entonces g\circ f(t)=t^6+1.

Si la posición inicial es t=-2 entonces:

f(-2)=4

(g\circ f)'(t)=6t^5

(g\circ f)'(-2)=-192.

Por otro lado

f'(-2)=-4

y

g'(f(-2))=g'(4)=48

entonces también

g'(f(-2))\cdot f'(-2)=(-4)(48)=-192.

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gradient of a scalar on a surface


This image represent how to calculate the gradient of a scalar function f:\Sigma\to\mathbb{R}, a measurement on a surface (surface1 , surface2 or surface3)

On the final two lines you gotta remember that the notation Xf means \langle X,{\rm grad}f\rangle which is also equals to \langle {\rm grad}f,X\rangle, this, codes how f varies relatively to X vector or vector field, see

Remember also that \Omega is an open set of \mathbb{R}^2 and  \Phi is injective with jacobian J\Phi having rank two “along” \Omega

With this device you can transport the Euclidean calculus in \mathbb{R}^2 to calculus in the surface \Sigma\subset\mathbb{R}^3

See how the chain rule is adapted: J(f\circ\Phi)=Jf\cdot J\Phi, from where we can evaluate: J(f\circ\Phi)(a)=Jf(\Phi(a))\cdot J\Phi(a)… What are \partial_1,\partial_2 here?

As a nontrivial example consider the notion of round functions

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lecciones de multilineal: ligas


  1. lección cero-a: re-ingenieria del álgebra lineal  [{T^i}_j]
  2. lección cero-b: re-ingenieria del cálculo vectorial JF=[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}]
  3. lección uno: álgebra multilineal abstracta f\otimes g:V\otimes W\to\mathbb{R}
  4. lección dos: álgebra lineal de espacios con producto interior b^i=g^{is}b_s
  5. lección tres: formas diferenciales d(fdx^k)=\frac{\partial f}{\partial x^s}dx^s\wedge dx^k
  6. lección cuatro: geometría diferencial de curvas \{T, N, B\}
  7. lección cinco: geometría diferencial de superficies \{\partial_1, \partial_2, \frac{\partial_1\times \partial_2}{||\partial_1\times \partial_2||}\}, \{T,\frac{\partial_1\times \partial_2}{||\partial_1\times \partial_2||},V\}
  8. leccion seis: campos de tensores U\to\oplus_k\Omega^k(TU), seen as sheaves… why not?
  9. leccion siete: \Omega=d\omega+\omega\wedge\omega

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