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SL_2(Z/3Z), aliquis ordo


hae sunt matrices (estas son las matrices):

a=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&0\end{array}\right) , b=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&1\end{array}\right) , ba^3b=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&2\end{array}\right)

a^3=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&0\end{array}\right) , bab=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&1\end{array}\right) , a^2b=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&2\end{array}\right)

e=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right) , a^2ba=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 1&1\end{array}\right) , (ba)^2=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 2&1\end{array}\right)

(ab)^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right) , b^2ab=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&2\end{array}\right) , a^3ba=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 2&0\end{array}\right)

a^3b=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 0&1\end{array}\right) , a^2b^2=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 1&0\end{array}\right) , bab^2=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 2&2\end{array}\right)

a^2=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 0&2\end{array}\right) , ab^2=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 1&2\end{array}\right) , ba=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 2&2\end{array}\right)

ab=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 0&2\end{array}\right) , b^2aba=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 1&1\end{array}\right) , b^2=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 2&0\end{array}\right)

b^2a=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 0&2\end{array}\right) , aba=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 1&0\end{array}\right) abab^2=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 2&1\end{array}\right)

… ante hoc dictionary

Nunc, possibile est quod haec propositio quaerere:

\langle a,b\ :\ a^4=e, b^6=e, a^2b=ba^2\rangle

  • is it possible that: a^2b=ba^2 together with a^4=e and b^6=e they imply a^2=b^3?

http://en.wikipedia.org/wiki/File:SL%282,3%29;_Cayley_table.svg

for more on Cayley tables go

Cayley

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.nov.2011)

Usando la teoría básica de grupos podremos construir un subgrupo de 12 elementos usando un subgrupo de orden tres y otro subgrupo de orden cuatro:

Con H=\langle p|p^3=e\rangle y con K=\langle q|q^4=e\rangle armamos HK. Así HK tendrá 12 elementos y pues H\cap K=\{e\}.

Chéquelo con p=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right)  y q=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&2\end{array}\right).

El que queriamos armar usando \langle\{a^2,b\}\rangle, no funciona para obtener un subgrupo de 12 elementos,  pues porque, sabiendo a^2=b^3, tendremos \langle a^2\rangle<\langle b\rangle y por lo tanto \langle\{a^2,b\}\rangle=\langle b\rangle.

12 Comments

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SL_2(Z_3) again


this group is great,… if you don’t believe checkout:

http://finitegeometry.org/sc/pg/dt/visu.html

there, it is its supergroup GL_2(Z_3).

the missing matrix in this photo is \left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&2\end{array}\right)

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SL_2(Z_3)


http://arxiv.org/pdf/math/0602364v1

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matrices especiales de 2×2, módulo 2 y módulo 3


no es difícil calcular que SL_2(\mathbb{Z}_2) tiene seis elementos y que este grupo es el grupo simétrico S_3=\langle a,b\mid a^2=b^3=e,\ ab^2=ba\rangle.

¿Y que hay acerca de SL_2(\mathbb{Z}_3)? también no es difícil calcular |SL_2(\mathbb{Z}_3)|=24.

¿Es cierto qué SL_2(\mathbb{Z}_3)=S_6?

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