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## SL_2(Z/3Z), aliquis ordo

hae sunt matrices (estas son las matrices):

$a=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&0\end{array}\right)$, $b=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&1\end{array}\right)$, $ba^3b=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&2\end{array}\right)$

$a^3=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&0\end{array}\right)$, $bab=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&1\end{array}\right)$, $a^2b=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&2\end{array}\right)$

$e=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right)$, $a^2ba=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 1&1\end{array}\right)$, $(ba)^2=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 2&1\end{array}\right)$

$(ab)^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right)$, $b^2ab=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&2\end{array}\right)$, $a^3ba=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 2&0\end{array}\right)$

$a^3b=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 0&1\end{array}\right)$, $a^2b^2=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 1&0\end{array}\right)$, $bab^2=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 2&2\end{array}\right)$

$a^2=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 0&2\end{array}\right)$, $ab^2=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 1&2\end{array}\right)$, $ba=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 2&2\end{array}\right)$

$ab=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 0&2\end{array}\right)$, $b^2aba=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 1&1\end{array}\right)$, $b^2=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 2&0\end{array}\right)$

$b^2a=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 0&2\end{array}\right)$, $aba=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 1&0\end{array}\right)$$abab^2=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 2&1\end{array}\right)$

… ante hoc dictionary

Nunc, possibile est quod haec propositio quaerere:

$\langle a,b\ :\ a^4=e, b^6=e, a^2b=ba^2\rangle$

• is it possible that: $a^2b=ba^2$ together with $a^4=e$ and $b^6=e$ they imply $a^2=b^3$?

http://en.wikipedia.org/wiki/File:SL%282,3%29;_Cayley_table.svg

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Cayley

(10.nov.2011)

Usando la teoría básica de grupos podremos construir un subgrupo de 12 elementos usando un subgrupo de orden tres y otro subgrupo de orden cuatro:

Con $H=\langle p|p^3=e\rangle$ y con $K=\langle q|q^4=e\rangle$ armamos $HK$. Así $HK$ tendrá 12 elementos y pues $H\cap K=\{e\}$.

Chéquelo con $p=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right)$  y $q=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&2\end{array}\right)$.

El que queriamos armar usando $\langle\{a^2,b\}\rangle$, no funciona para obtener un subgrupo de 12 elementos,  pues porque, sabiendo $a^2=b^3$, tendremos $\langle a^2\rangle<\langle b\rangle$ y por lo tanto $\langle\{a^2,b\}\rangle=\langle b\rangle$.

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## SL_2(Z_3) again

this group is great,… if you don’t believe checkout:

http://finitegeometry.org/sc/pg/dt/visu.html

there, it is its supergroup GL_2(Z_3).

the missing matrix in this photo is $\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&2\end{array}\right)$

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## matrices especiales de 2×2, módulo 2 y módulo 3

no es difícil calcular que $SL_2(\mathbb{Z}_2)$ tiene seis elementos y que este grupo es el grupo simétrico $S_3=\langle a,b\mid a^2=b^3=e,\ ab^2=ba\rangle$.

¿Y que hay acerca de $SL_2(\mathbb{Z}_3)$? también no es difícil calcular $|SL_2(\mathbb{Z}_3)|=24$.

¿Es cierto qué $SL_2(\mathbb{Z}_3)=S_6$?