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puntos críticos de una función suave en el círculo


En esta breve nota demostraremos que cada función f:S^1\to{\mathbb{R}}^1 que tenga un punto crítico aislado debe de tener otro.

Entonces supongamos que existe un punto p en S^1 talque {\rm grad}f(p)=\left[\frac{\partial f}{\partial x}|_p,\frac{\partial f}{\partial y}|_p\right]=\vec{0}, pero si elegimos la parametrización \phi:\ ]0,2\pi[\longrightarrow S^1 dada por t\longmapsto\left(\begin{array}{c}\cos(t)\\ \\ \sin(t)\end{array}\right), entonces tenemos una función g=f\circ\phi para la cual, la regla de la cadena implica que g'=f'(\phi)\phi' satisface

\frac{d g}{dt}|_{t_0}=\left[\frac{\partial f}{\partial x}|_p,\frac{\partial f}{\partial y}|_p\right]\left(\begin{array}{c}-\sin\\ \\ \cos\end{array}\right)_{|_{t_0}}

i.e.

\frac{d g(t_0)}{dt}=-\frac{\partial f(p)}{\partial x}\sin(t_0)+\frac{\partial f(p)}{\partial y}\cos(t_0)

entonces si {\rm grad}f(p)=\vec{0} tendremos \frac{d g(t_0)}{dt}=0, en otras palabras g tiene puntos críticos en t_0 y en t_0+2\pi.

Pero además g(t_0)=f\circ\phi(t_0)=f(p) tanto como

g(t_0+2\pi)=f\circ\phi(t_0+2\pi)=f\circ\phi(t_0)=f(p)

es decir g(t_0)=g(t_0+2\pi) y entonces –por el teorema de Rolle– existe t_1 en el intervalo abierto ]t_0,t_0+2\pi[ talque \frac{d g(t_1)}{dt}=0.

Pero si nos restringimos a S^1\setminus\{p\} entonces f=g\circ\phi^{-1},
y así (también por la regla de la cadena) tenemos {\rm grad}f=\frac{dg}{dt}\ {\rm grad}\ \phi^{-1} i.e.

\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]=\frac{dg}{dt}\left[\frac{\partial\phi^{-1}}{\partial x},\frac{\partial\phi^{-1}}{\partial y}\right]

que evaluando en t_1 implica

\frac{\partial f(q)}{\partial x}=\frac{dg(t_1)}{dt}\frac{\partial\phi^{-1}(q)}{\partial x}=0

tanto como

\frac{\partial f(q)}{\partial y}=\frac{dg(t_1)}{dt}\frac{\partial\phi^{-1}(q)}{\partial y}=0

por lo tanto {\rm grad}f(q)=\vec{0}, donde q\neq p \Box

critical points of functions on the circle

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re-engineering some maths


digo re-ingeniería del álgebra lineal al querer enfatizar el carácter categórico monoidal de la categoría de los espacios vectoriales sobre los números \mathbb{R}, y re-ingeniería del cálculo vectorial para remediar el remedio de los ingenieros Gibbs-Heavyside-(Adhémar Jean Claude Barré de) Saint-Venant, y substituir  grad, div, rot y Stokes por el cálculo à-la-Cartan, es decir, usando formas diferenciales.

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vectores, covectores, uno-formas


Todo mundo está familiarizado con el concepto de un euclidean campo vectorial, por ejemplo en \mathbb{R}^3:

F:\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{c}x+y+z^2\\xy-z^2\\x+xy+z\end{array}\right)

es decir un map cuya imagen es una combinación lineal en la base

e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right), e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)

en otras palabras

F=(x+y+z^2)e_1+(xy-z^2)e_2+(x+xy+z)e_3

Por otro lado están las combinaciones lineales de covectores básicos

dx=[1,0,0],\qquad dy=[0,1,0],\qquad dz=[0,0,1]

resultantes en objetos del tipo

\omega=(x+y+z^2)dx+(xy-z^2)dy+(x+xy+z)dz

que son combinaciones lineales de covectores básicos pero usando funciones escalares arbitrarias como componentes… éstas (como \omega de arriba),… son las uno-formas (es decir, en este ejemplo particular una uno-forma en \mathbb{R}^3). Estos, los campos de covectores, tal vez sean menos familiares entre los estudiantes del mundo, pero eventualmente van ganando popularidad y utilidad…

Usualmente, los símbolos para los conjuntos correspondientes son (ejemplificando en \mathbb{R}^3)

  • C^{\infty}(\mathbb{R}^3):  funciones escalares \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} diferenciables
  • \Lambda^1(\mathbb{R}^3)=(\mathbb{R}^3)^* covectores: combinaciones sobre \mathbb{R}
  • {\cal{X}}(A) los campos vectoriales en A, i.e funciones A\to TA, secciones del fibrado tangente TM\to M.
  • \Omega^1(\mathbb{R}^3): combinaciones lineales usando C^{\infty}-coeficientes sobre dx,\ dy,\ dz

Un siguiente grado de abstracción consiste en armar  este mismo sistema vectorial a variedades not euclideans por ejemplo (ejemplo de excelencia) a las  2-variedades de \mathbb{R}^3.

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