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categorizando 1


Considere el esquema algebraico contemporáneo de las categorías, que son leguage para describir el estado un arte matemático clásico o novedoso en términos de objetos y flechas: en

http://stats.grok.se/en/latest/Category_of_sets

nos muestra un cierto nivel de popularidad y / o utilidad del cyber-demandante promedio de hoy.

Un matemático es un profesional, aquel que estudia los sistemas deductivo-axiomáticos, sistemas formales particulares, o en abstracto o en la interelación con otros.

Ejemplos están en:

La geometría (Euclides-Hilbert, Análitica de Descartes, Diferencial de Riemann, Geométrica de Dehn, . . . );

El álgebra (grupos de Galois-Dyck, anillos de polinomios de Hilbert-Atiyah, espacios vectoriales de Hamilto-Grassmann-Cayley, grupos y álgebras de Lie, . . );

El análisis (la formalización del cálculo) de Cantor-Weierstrass-Borel o bien;

Como en las computadoras, las estadísticas, los modelos de la física, la economía, . . .
y todas las  que aspiran, otro resto de ciencias. .  .

Insistimos: La moderna organización de las matemáticas está en términos de Categoría: estructuración del conocimiento de una teoría usando dos partes; Objetos y Aplicaciones-entre-los-objetos.

Como Objetos se usan algún tipo de conjuntos, y que  simbolizaremos con Obj para un objeto genérico en la Categoría.
Y también  Flechas: relaciones f : Obj_1 \to Obj_2,  que son aplicaciones (funciones, mapeos, transformaciones) entre los objetos de la categoría.

Como ejemplos específicos de categorías, tenemos:

  • SET={ Obj=todos los conjuntos & Flech=todos los maps entre los objetos };
  • EV={Obj=todos los espacios vectoriales & Flech=todas las transformaciones lineales entre espacios vectoriales};
  • TOPO={Obj=todos los espacios topológicos & Flech=mapeos continuos entre espcios topológicos}

Superademás: se tienen mapeos entre categorías. Esos se llamarán functor.

hay unos functores naturales, por ejemplo:

EV \to SET

o

TOPO \to SET

y otros “mas complicados”…

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álgebra exterior y formas diferenciales


una busqueda sencilla en la red (web) para álgebra exterior dará como resultado los items de la wikipedia, que proporciona una versión ranchera en wiki.es. También ranchera es la versión wiki.en.

El item en inglés, dice que el álgebra exterior se construye a partir de la base de un espacio vectorial V={\rm gen}\{e_1,e_2,...,e_n\} y entonces

\bigwedge^0(V)=\mathbb{R}

\bigwedge^1(V)={\rm gen}\{e_i\}=V

\bigwedge^2(V)={\rm gen}\{e_i\wedge e_j\}

\bigwedge^3(V)={\rm gen}\{e_i\wedge e_j\wedge e_k\}

\bigwedge^{n-1}(V)={\rm gen}\{e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_{n-1}}\}

\bigwedge^n(V)={\rm gen}\{e_1\wedge...\wedge e_n\}

para finalmente determinar como el álgebra de Grassmann de V es:

\bigwedge(V)=\bigwedge^0(V)\oplus\bigwedge^1(V)\oplus...\oplus\bigwedge^n(V)

Esta construcción es posible. Pero al comparar contra la explicada en este web-blog hemos elegido

\bigwedge^0(V)=\mathbb{R}

\bigwedge^1(V)={\rm gen}\{e^i\}=V^*

\bigwedge^2(V)={\rm gen}\{e^i\wedge e^j\}

\bigwedge^3(V)={\rm gen}\{e^i\wedge e^j\wedge e^k\}

\bigwedge^{n-1}(V)={\rm gen}\{e^{i_1}\wedge...\wedge e^{i_{n-1}}\}

\bigwedge^n(V)={\rm gen}\{e^1\wedge...\wedge e^n\}

¿Observas la diferencia? En la f-wikipedia les da lo mismo que los vectores sean filas o columnas, a nosotros no.

Nosotros elegimos la construcción del álgebra exterior acordemente para que las formas diferenciales coincidan con las convenciones de indexación como en Flanders del 1989 en su famoso artículo: “Differential forms” en el Studies in Mathematics 27 (“Global Differential Geometry”) de la Mathematical Asociation of America.

Del tal artículo la primera página es:

¿quieres más de esto?… síguete a  flanders27-35 por aquí mismo…

Más evidencias… checa en la página 99 del “Gravitation” de Misner-Thorne-Wheeler:

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wedge complements in finite dimension


in the next counting experiment we are going  to calculate the dimensions of some linear subspaces of the Grassmann algebra of a vector space of dimension n.

We should  be using the intuition granted by \Lambda(\mathbb{R}^n)

The definitions are:

  • C_{dx}=\{\alpha\mid \alpha\wedge dx=0\}
  • M_{dx}={C_{dx}}^{\top}
  • C_{dx\wedge dy}=\{\alpha\mid \alpha\wedge dx\wedge dy=0\}
  • M_{dx\wedge dy}={C_{dx\wedge dy}}^{\top}
  • C_{dx\wedge dy\wedge dz}
  • M_{dx\wedge dy\wedge dz}

doesn’t anybody know the name of the result?…  ‘cuz if it hasn’t, I will claim mine : )

Meanwhile, let me refrain the definition  that says:  

\Lambda(\Omega) 

is the C^{\infty}(\Omega)module over the symbols dx^1,dx^2,...,dx^n and over an open set \Omega\subseteq\mathbb{R}^n

stay tune…

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