# multilineal lección 5

## geometría diferencial de superficies

2-pseudosphere

• the surface definition $\Sigma\subset\mathbb{R}^3$
• $\Phi:\Omega\to\Sigma$
• $J\Phi|_a:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$
• each with their own $\langle\quad,\quad\rangle_{\mathbb{R}^2}$  and $\langle\quad,\quad\rangle_{\mathbb{R}^3}$
• $\partial_i=J\Phi|_a(e_i)$ , $i=1,2$
• $\partial_i=\frac{\partial\Phi}{\partial v^i}$
• tangent space $T_p\Sigma$
• coordinated basis $\{\partial_v,\partial_w\}$
• two different parameterizations, change of coordinates’ basis and change of vector fields’ components
• the metric is $g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle$
• tangent bundle $T\Sigma=\bigcup_p(p\times T_p\Sigma)$
• vector field on a surface $X:\Sigma\to T\Sigma$
• not always $D_XY$ is tangent to the surface so we project into the tangent space, this is equivalent to say that we are goinng to substract the normal component: so
• induced connection, Gauss equation
• $\nabla_XY=D_XY-\langle D_XY,N\rangle N$.
• The same properties that $D$ has $\nabla$ too
• Christoffel symbols $\nabla_{\partial_i}\partial_j={\Gamma^s}_{ij}\partial_s$
• gaussian curvature $K_{\rm{Gauss}}=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}$
• shape operator $N:\Sigma\to S^2$ via $p\mapsto\frac{\partial_1\times\partial_2}{||\partial_1\times\partial_2||}$
• Weingarten self-adjoint map $JN=L:T_p\Sigma\to T_p\Sigma$
• also $LX=D_XN$ satisfy self-adjointness $\langle LX,Y\rangle=\langle X,LY\rangle$, thing that implies that $L$ has symmetric matrix
• $L\partial_1=\frac{\partial N}{\partial v}={a^1}_1\partial_1+{a^2}_1\partial_2$
• $L\partial_2=\frac{\partial N}{\partial w}={a^1}_2\partial_1+{a^2}_2\partial_2$
• Darboux frame $T, N, V$
• $D_TX=X'=\frac{d}{dt}(X\circ\beta)$
• the Darboux frame is a dynamical frame $D_TT,D_TN,D_TV$
• $K_{\rm{Geode}}=\langle N\times T,\nabla_TT\rangle$
• a curve in a surface is a geodesic if $\nabla_{C'}C'=0$
• when $C'=v'^1\partial_1+v'^2\partial_2$, then the equation that must be equivalent is
• $v''^{\alpha}+{\Gamma^{\alpha}}_{\beta\mu}v'^{\beta}v'^{\mu}=0$
• it is well known how to vincula with the Euler-Lagrange extremization technique:

(aquí en el gráfico beta es la curva C)

• when we have an integral action $A=\int_IL(u,v,v')du$ we know what kind of relation is inter the given lagrangian and the unknown $v$:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v'}-\frac{\partial L}{\partial v}=0$

note that the unknowns $v,v'$ appears as an element of the operator:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial v'}-\frac{\partial }{\partial v}=0$

and that $L$ is in the kernel of it…

### 8 responses to “multilineal lección 5”

1. maestro con eso que recientemente definimos la curvatura gaussiana con el proceso matemático que hay que llevar surge la pregunta de el por que se decidió tomar tal camino para definir una curvatura, pues la he respondido así:

todo como un análogo a la curvatura de curvas en el espacio según las ecuaciones de frenet serret dado que resulta muy intuitivo pues se define la curvatura como la magnitud de la razón de cambio de la tangente respecto al arco-parámetro, esto es muy natural pues una de las razones por las que necesitamos curvatura es la comparación de esta en otras curvas, por eso el arco-parámetro, dado que este es una medida igual en todas las curvas “nos permite movernos a igual rapidez en todas las curvas” para así compararlas,

pero ahora en las superficies no tenemos el análogo a arco-parámetro, luego los espacios tangentes cambian de inclinación a razón que no solo depende de la razón de la cual queremos definir curvatura, siendo inútil,

luego veo que es claro que se eligiera la magnitud de la razón de cambio de la normal como la curvatura, dado que en todas las superficies tenemos normales y todas son de magnitud uno, así que veo que resulta intuitivo definir curvatura como la razón de cambio de la dirección de dicha normal,

así se cumple uno de los propósitos mas importantes, la comparación de curvaturas de diferentes superficies

en la curvatura gaussiana E,F y G representan los componentes de la matriz de gram, entonces, son funciones escalares? o tmb c necesita evaluar? y que diferencia hay entre mayúsculas y minúsculas?

• $K_{\rm Gauss}=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}$ es otra notación que usan otros autores. Los e,f,g son el tensor-métrico de 2da especie. Los E,F,G de primera. Las seis son funciones escalares, si.

En la clase se usó la notación $K_{\rm Gauss}=\frac{b_{11}b_{22}-{b_{12}}^2}{g_{11}g_{22}-{g_{12}}^2}$

donde

$g_{ij}=\langle\partial_i,\partial_j\rangle$

y

$b_{ij}=-\langle N,D_{\partial_i}\partial_j\rangle$

El operador N, solamente el vector normal??
cuál es la diferencia entre el marco de Frenet y el de
Darboux? y en éste ultimo, el vector T, que relacion tiene con los parcial 1 y 2, y cómo se obtiene el vector V?

• Si, para el normal.

El de Frenet-Serret es para una curva en el 3-espacio euclideano, el de Darboux es para una curva en una superficie (y ésta está en el 3-espacio…)

Una curva en una superficie se obtiene de parametrizar una curva en el dominio de la parametrización de la superficie, digamos

$C=\Phi\circ\alpha$

si $\alpha$ tiene componentes $ve_1+we_2$ entonces $\alpha'=v'e_1+w'e_2$, con lo cual

$T=C'=(\Phi\circ\alpha)'$

y

$T=J\Phi\alpha'=v'J\Phi e_1+w'J\Phi e_2$

esto es

$T=v'\partial_1+w'\partial_2$

El vector $V=N\times T$, insisto : )

La conexión inducida mide como varían los campos en las direcciones tangentes, como $\nabla_{\partial_k}\partial_l$ es tangente, éste se representa como una combinación lineal ${\Gamma^s}_{kl}\partial_s$, en el tangente.