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categorizando 1


Considere el esquema algebraico contemporáneo de las categorías, que son leguage para describir el estado un arte matemático clásico o novedoso en términos de objetos y flechas: en

http://stats.grok.se/en/latest/Category_of_sets

nos muestra un cierto nivel de popularidad y / o utilidad del cyber-demandante promedio de hoy.

Un matemático es un profesional, aquel que estudia los sistemas deductivo-axiomáticos, sistemas formales particulares, o en abstracto o en la interelación con otros.

Ejemplos están en:

La geometría (Euclides-Hilbert, Análitica de Descartes, Diferencial de Riemann, Geométrica de Dehn, . . . );

El álgebra (grupos de Galois-Dyck, anillos de polinomios de Hilbert-Atiyah, espacios vectoriales de Hamilto-Grassmann-Cayley, grupos y álgebras de Lie, . . );

El análisis (la formalización del cálculo) de Cantor-Weierstrass-Borel o bien;

Como en las computadoras, las estadísticas, los modelos de la física, la economía, . . .
y todas las  que aspiran, otro resto de ciencias. .  .

Insistimos: La moderna organización de las matemáticas está en términos de Categoría: estructuración del conocimiento de una teoría usando dos partes; Objetos y Aplicaciones-entre-los-objetos.

Como Objetos se usan algún tipo de conjuntos, y que  simbolizaremos con Obj para un objeto genérico en la Categoría.
Y también  Flechas: relaciones f : Obj_1 \to Obj_2,  que son aplicaciones (funciones, mapeos, transformaciones) entre los objetos de la categoría.

Como ejemplos específicos de categorías, tenemos:

  • SET={ Obj=todos los conjuntos & Flech=todos los maps entre los objetos };
  • EV={Obj=todos los espacios vectoriales & Flech=todas las transformaciones lineales entre espacios vectoriales};
  • TOPO={Obj=todos los espacios topológicos & Flech=mapeos continuos entre espcios topológicos}

Superademás: se tienen mapeos entre categorías. Esos se llamarán functor.

hay unos functores naturales, por ejemplo:

EV \to SET

o

TOPO \to SET

y otros “mas complicados”…

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lema de abstracción


Simplemente el primer paso para bajarle la complejidad a un conjunto excesivamente grande, en la categoría de conjuntos y flechas -la curiosamente denominada categoría madre- es particionar o relacionar. Los morfismos en esta categoría son las flechas atrás mencionadas.  El lema de abstracción está en la entrada de esta teoría , así que desde el punto de vista categórico falta decir algo que relacione 

  • conjuntos S,T, U,...
  • flechas  S\to T, S\to U,...
  • relaciones binarias \sim_s en S o \sim_t en T,…

en el siguiente paso de complejidad categórica. En pasado post enumeré con el dígito dos a la correspondiente situación muy elemental de las cosas que suceden allá en esta teoría fundamental 

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