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## otro lema estratégico

La siguiente lámina establece un lema vital para una demostración “más contemporánea” del Teorema de Sylow 1.

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## wedge product example

When bivectors are defined by

$\beta^i\wedge\beta^j:=\beta^i\otimes\beta^j-\beta^j\otimes\beta^i$,

so, for two generic covectors

$\theta=a\beta^1+b\beta^2+c\beta^3$ and $\phi=d\beta^1+e\beta^2+f\beta^3$,

we have the bivector

$\theta\wedge\phi=(bf-ce)\beta^2\wedge\beta^3+(cd-af)\beta^3\wedge\beta^1+(ad-be)\beta^1\wedge\beta^2$.

Otherwise,

Cf. this with the data $\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)$ and $\left(\begin{array}{c}d\\e\\f\end{array}\right)$ to construct the famous

$\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}d\\e\\f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}bf-ce\\cd-af\\ad-be\end{array}\right)$

So, nobody should be confused about the uses of the symbol $\wedge$ dans le calcul vectoriel XD

## the rank 3 free group is embeddable in the rank two free group

Let $F=\langle x,y|\ \rangle$ be the rank two free group and $U=\langle\{x^2,y^2,xy\}\rangle$ be a subgroup.
Observe that $xy^{-1}=xy(y^2)^{-1}$, then $xy^{-1}\in U$.

Clearly $F=U\sqcup Ux$, because it is not difficult to convince oneself that $U$ consists on words of even length and $xy^{-1}\in U$ implies $Uy=Ux$.

Technically, that is attending to the Schreier’s recipe, having $\Sigma=\{1,x\}$ as a set of transversals and being $S=\{x,y\}$ the free generators for $F$.

Set $\Sigma S=\{x,\ y,\ x^2,\ xy\}$ and take $\overline{\Sigma S}=\{1,x\}$, then we get

$\overline{\Sigma S}^{-1}=\{1,x^{-1}\}$.

So according to Schreier’s language the set  $\Sigma S\overline{\Sigma S}^{-1}=\{ gs\overline{gs}^{-1}|g\in\Sigma,s\in S\},$ in our case, is

$\{\ x\overline{x}^{-1}=1\ ,\ y\overline{y}^{-1}=yx^{-1}\ , \ x^2\overline{x^2}^{-1}=x^2\ ,\ xy\overline{xy}^{-1}=xy\ \}.$

Hence $\{\ xy^{-1}\ ,\ x^2\ ,\ xy\ \}$ are the free generator for $U$.

Note that this three word are the first three length-two-words in the alphabetical order, start by  $1 and continuing  to

$x^2

$. . .< yx

## need more?

¿necesitas o requieres un tema en particular? si es alrededor de álgebra multilineal, anímate a interaccionar. También tenemos topología de dimensiones bajas y más…

## reflector circle at a punctured torus

Sea $T_o$ un toro 2-dimensional donde hemos removido un disco cerrado,
sea $S=T_o\cup_{\partial}\bar{A}$ donde $\bar{A}$ es aro $S^1\times I$ con $S^1\times 0$ es la frontera
de una “vecindad” de una curva cerrada simple reflectora, y $S^1\times 1$ como la curva reflectora. Tal “aro reflector”, $\bar{A}$ tiene como^ orbifold – grupo fundamental a $\pi_1(\bar{A})=\Bbb{Z}\times{\Bbb{Z}}_2$. Entonces el producto amalgamado es:

reflector circle

Esto es divertido por que es bien sabido que la superficie cerrada de género tres no orientable,  $N_3$ tiene presentación parecida a esta última.

Observemos que las respectivas abelianizaciones son $\mathbb{Z}^2+\mathbb{Z}_2$

Entonces es ¿cierto o no qué el concepto de curva reflectora dado por P.Scott no sea el mismo que el de curva reflectora en una superficie no orientable?

Recuerde que, poner una curva reflectora a una superficie orientable es para hacer una superficie no orientable de tipo $T\#\cdots\#T\#{\Bbb{R}}P^2$ de género impar, donde $T$ es el toro 2D.

^ footnote{Ref[P. Scott en 424p. “The Geometries of 3-Manifolds“, 1983]}

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## Multilinear Algebra

álgebra multilineal es como un cálculo vectorial dos o álgebra lineal tres

entonces para poder hacer cálculos en otras geometrías, inclusive muy diferentes a $\mathbb{R}^n$ vamos viendo hacia donde tenemos que caminar: ver  (un post previo con estas ideas en mente).

RE-ENGINEERING LINEAR ALGEBRA

RE-ENGINEERING VECTOR CALCULUS

## a group

For $G=\langle a,b\ |\ a^2=e,\ b^2=e\rangle$, let us write some elements:

word length : words

0 : $e$

1 : $a,b$

2 : $ab,\quad ba$

3 : $aba,\quad bab$

4 : $abab,\quad baba$

5 : $ababa,\quad babab$

6 : $ababab,\quad bababa$

Note that for odd-length-words, like $aba$ we have: $(aba)(aba)=e$,

but for even-length-words, like $abab$, we have: $(abab)(baba)=e$.

So, this group has infinite many elements of order two and the even-length words form a subgroup, $H$, isomorphic to the group of the integers, and its index is $[G:H]=2$.