Category Archives: cucei math

otro lema estratégico


La siguiente lámina establece un lema vital para una demostración “más contemporánea” del Teorema de Sylow 1.

truccu

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wedge product example


When bivectors are defined by

\beta^i\wedge\beta^j:=\beta^i\otimes\beta^j-\beta^j\otimes\beta^i,

so, for two generic covectors

\theta=a\beta^1+b\beta^2+c\beta^3 and \phi=d\beta^1+e\beta^2+f\beta^3,

we have the bivector

\theta\wedge\phi=(bf-ce)\beta^2\wedge\beta^3+(cd-af)\beta^3\wedge\beta^1+(ad-be)\beta^1\wedge\beta^2.

 

Otherwise,

Cf. this with the data \left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right) and \left(\begin{array}{c}d\\e\\f\end{array}\right) to construct the famous

\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}d\\e\\f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}bf-ce\\cd-af\\ad-be\end{array}\right)

So, nobody should be confused about the uses of the symbol \wedge dans le calcul vectoriel XD

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the rank 3 free group is embeddable in the rank two free group


Let F=\langle x,y|\ \rangle be the rank two free group and U=\langle\{x^2,y^2,xy\}\rangle be a subgroup.
Observe that xy^{-1}=xy(y^2)^{-1}, then xy^{-1}\in U.

Clearly F=U\sqcup Ux, because it is not difficult to convince oneself that U consists on words of even length and xy^{-1}\in U implies Uy=Ux.

Technically, that is attending to the Schreier’s recipe, having \Sigma=\{1,x\} as a set of transversals and being S=\{x,y\} the free generators for F.

Set \Sigma S=\{x,\ y,\ x^2,\ xy\} and take \overline{\Sigma S}=\{1,x\}, then we get

\overline{\Sigma S}^{-1}=\{1,x^{-1}\}.

So according to Schreier’s language the set  \Sigma S\overline{\Sigma S}^{-1}=\{ gs\overline{gs}^{-1}|g\in\Sigma,s\in S\}, in our case, is

\{\ x\overline{x}^{-1}=1\ ,\ y\overline{y}^{-1}=yx^{-1}\ , \ x^2\overline{x^2}^{-1}=x^2\ ,\ xy\overline{xy}^{-1}=xy\ \}.

Hence \{\ xy^{-1}\ ,\ x^2\ ,\ xy\ \} are the free generator for U.

Note that this three word are the first three length-two-words in the alphabetical order, start by  1<x<x^{-1}<y<y^{-1} and continuing  to

x^2<xy<xy^{-1}<x^{-2}<x^{-1}y<x^{-1}y^{-1}

. . .< yx<yx^{-1}<y^2<y^{-1}x<y^{-1}x^{-1}<y^{-2}

 

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need more?


¿necesitas o requieres un tema en particular? si es alrededor de álgebra multilineal, anímate a interaccionar. También tenemos topología de dimensiones bajas y más…

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reflector circle at a punctured torus


Sea T_o un toro 2-dimensional donde hemos removido un disco cerrado,
sea S=T_o\cup_{\partial}\bar{A} donde \bar{A} es aro S^1\times I con S^1\times 0 es la frontera
de una “vecindad” de una curva cerrada simple reflectora, y S^1\times 1 como la curva reflectora. Tal “aro reflector”, \bar{A} tiene como^ orbifold – grupo fundamental a \pi_1(\bar{A})=\Bbb{Z}\times{\Bbb{Z}}_2. Entonces el producto amalgamado es:

reflector circle

reflector circle

Esto es divertido por que es bien sabido que la superficie cerrada de género tres no orientable,  N_3 tiene presentación parecida a esta última.

Observemos que las respectivas abelianizaciones son \mathbb{Z}^2+\mathbb{Z}_2

Entonces es ¿cierto o no qué el concepto de curva reflectora dado por P.Scott no sea el mismo que el de curva reflectora en una superficie no orientable?

Recuerde que, poner una curva reflectora a una superficie orientable es para hacer una superficie no orientable de tipo T\#\cdots\#T\#{\Bbb{R}}P^2 de género impar, donde T es el toro 2D.

^ footnote{Ref[P. Scott en 424p. “The Geometries of 3-Manifolds“, 1983]}

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Multilinear Algebra


álgebra multilineal es como un cálculo vectorial dos o álgebra lineal tres

entonces para poder hacer cálculos en otras geometrías, inclusive muy diferentes a \mathbb{R}^n vamos viendo hacia donde tenemos que caminar: ver  (un post previo con estas ideas en mente).

RE-ENGINEERING LINEAR ALGEBRA

RE-ENGINEERING VECTOR CALCULUS

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a group


For G=\langle a,b\ |\ a^2=e,\ b^2=e\rangle, let us write some elements:

word length : words

0 : e

1 : a,b

2 : ab,\quad ba

3 : aba,\quad bab

4 : abab,\quad baba

5 : ababa,\quad babab

6 : ababab,\quad bababa

Note that for odd-length-words, like aba we have: (aba)(aba)=e,

but for even-length-words, like abab, we have: (abab)(baba)=e.

So, this group has infinite many elements of order two and the even-length words form a subgroup, H, isomorphic to the group of the integers, and its index is [G:H]=2.

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