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real multilinear algebra


el álgebra multilineal sobre los números reales, \mathbb{R}, incluye a las formas diferenciales euclideas, ahí uno estudia la amalgama producida por el álgebra lineal y el cálculo en varias variables. Pero además si uno dispone del lenguage elemental del álgebra tensorial de espacios vectoriales sobre los reales, es decir la categoría {\rm{Vect}}_{\mathbb{R}}, entonces uno puede incluir los principios de la geometría diferencial (de curvas y de superficies en \mathbb{R}^3) para obtener un curso realmente útil y moderno. En el mero corazón de esta teoría está el complejo de de Rham que permite construir los módulos cohomológicos del álgebra de Grassmann (módulo-C^{\infty}), de un conjunto abierto euclídeo.

 

Otra cosa es la complex multilinear algebra…

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wedge complements in finite dimension


in the next counting experiment we are going  to calculate the dimensions of some linear subspaces of the Grassmann algebra of a vector space of dimension n.

We should  be using the intuition granted by \Lambda(\mathbb{R}^n)

The definitions are:

  • C_{dx}=\{\alpha\mid \alpha\wedge dx=0\}
  • M_{dx}={C_{dx}}^{\top}
  • C_{dx\wedge dy}=\{\alpha\mid \alpha\wedge dx\wedge dy=0\}
  • M_{dx\wedge dy}={C_{dx\wedge dy}}^{\top}
  • C_{dx\wedge dy\wedge dz}
  • M_{dx\wedge dy\wedge dz}

doesn’t anybody know the name of the result?…  ‘cuz if it hasn’t, I will claim mine : )

Meanwhile, let me refrain the definition  that says:  

\Lambda(\Omega) 

is the C^{\infty}(\Omega)module over the symbols dx^1,dx^2,...,dx^n and over an open set \Omega\subseteq\mathbb{R}^n

stay tune…

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