Tag Archives: álgebra multilineal

Einstein-Penrose ‘s strong sum convention


the rank one tensors’ basis changes

abstractrelativity017

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need more?


¿necesitas o requieres un tema en particular? si es alrededor de álgebra multilineal, anímate a interaccionar. También tenemos topología de dimensiones bajas y más…

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real elementary multilinear algebra


are the common algebraic-techniques  territory for today vector algebra and differential geometry.

This means that ancient vectorcalculus that turns into differential forms nowadays, is “super-oversimplified” into a mathematical language to phrase some modern geometricalalgebrotopologicalanalitic-maths.

Real, ‘cuz first you gotta get the ideas over the field \mathbb{R}.

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local math brochures


Follow the links to get acquainted with the contents what we will work this semester.

They are

Also, let me feedback you mentioning the topics which can be get into it to work on thesis (B.Sc. or M.Sc.) or else

  • differential geometry
  • differential topology
  • low dimensional topology
  • algebra  and analysis
  • sum of reciprocal inverses integers problem

These are fun  really!

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simuexam de multi 2011a


simuexam de multi 2011a

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simu exam


  1. Si la superficie \Sigma esta parametrizada por ve_1+we_2\to wE_1+vE_2+(v^2-w^2)E_3  -y-  p=E_1+2E_2+3E_3 es una posición de prueba, entonces calcula \nabla_FG cuando F(v,w)=v\partial_1+vw\partial_2 y G(v,w)=\partial_1+(v^2-w)\partial_2 en p
  2. Calcula todos los símbolos {\Gamma^i}_{jk} de la superficie \Sigma del problema anterior
  3. Si tenemos el campo vectorial  F=w\partial_1+v^2w\partial_2 en una superficie, entonces calcula: \nabla_FF la proyección tangente de D_FF, pero ahora en el paraboloide vE_1+wE_2+(v^2+w^2)E_3, en cualquier posición de la superficie
  4. Para no andar sufriendo al  calcular \nabla_FG uno necesita un procedimiento genérico dado por:

\nabla_FG=\nabla_{F^s\partial_s}(G^t\partial_t)

\qquad=F^s\nabla_{\partial_s}(G^t\partial_t)

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}\partial_t+G^t\nabla_{\partial_s}\partial_t]

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}\partial_t+G^t{\Gamma^u}_{st}\partial_u]

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}+G^u{\Gamma^t}_{su}]\partial_t

así que los componentes de \nabla_FG son:

F^s{G^t}_{,s}+F^sG^u{\Gamma^t}_{su}

esto último dice: como varía G en dirección F  -mas-  como interactúan -estos- en la geometría de la superficie…

 

5. Para demostrar que {\Gamma^A}_{BC}=\frac{1}{2}g^{AS}[g_{SC,B}+g_{BS,C}-g_{BC,S}], utilizamos la regla de Leibniz X\langle Y,Z\rangle=\langle D_XY,Z\rangle+\langle Y,D_XZ\rangle que particularizado

\partial_K\langle\partial_L,\partial_M\rangle=\langle D_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,D_{\partial_K}\partial_M\rangle

\partial_Kg_{LM}=\langle D_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,D_{\partial_K}\partial_M\rangle

Usando la ecuación de Gauss D_{\partial_K}\partial_L=\nabla_{\partial_K}\partial_L+\langle D_{\partial_K}\partial_L,N\rangle N entonces

g_{LM,K}=\langle \nabla_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,\nabla_{\partial_K}\partial_M\rangle

g_{LM,K}=\langle {\Gamma^S}_{KL}\partial_S,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,{\Gamma^S}_{KM}\partial_S\rangle

g_{LM,K}={\Gamma^S}_{KL}\langle\partial_S,\partial_M\rangle+{\Gamma^S}_{KM}\langle \partial_L,\partial_S\rangle

g_{LM,K}={\Gamma^S}_{KL}g_{SM}+{\Gamma^S}_{KM}g_{LS}

Ahora habría que ensamblar y simplificar g_{IJ,K}+g_{KI,J}-g_{KJ,I} . . .

 

6. Una curva C=C(t) en una superficie \Phi:\Omega\hookrightarrow\Sigma  queda especificada cuando decimos un map \alpha(t)=v(t)e_1+w(t)e_2 en \Omega y entonces C=\Phi\circ\alpha. Como C'=J\Phi\cdot\alpha' entonces

C'=v'\partial_1+w'\partial_2

C' representa el vector tangente a la curva C y arriba dice cuales son los componentes de C'\in T_p\Sigma. Entonces calcula los componentes de

  • D_{C'}C'… ¿son estos iguales a los componentes de  C''?
  • \nabla_{C'}C'

Se sabe desde hace 130 años aproximadamente que si la curva C satisface \nabla_{C'}C'=0 entonces la curva C tiene la propiedad de ser longitud de arco minimizante a lo largo de los puntos sobre los que camina, i.e. una geodésica. Los componentes de \nabla_{C'}C' -igualados a cero- son las mismas ecuaciones que provienen de la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar las funciones críticas de funcionales de la forma

A=\int_IF(x(t),x'(t),t)dt

donde se buscan las condiciones mediante las cuales x(t) extremize a A. Para la longitud de una curva en una superficie este funcional es con F=\sqrt{g_{\mu\nu}v'^{\mu}v'^{\nu}}

 

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lecciones de multilineal: ligas


  1. lección cero-a: re-ingenieria del álgebra lineal  [{T^i}_j]
  2. lección cero-b: re-ingenieria del cálculo vectorial JF=[\frac{\partial F^i}{\partial x^j}]
  3. lección uno: álgebra multilineal abstracta f\otimes g:V\otimes W\to\mathbb{R}
  4. lección dos: álgebra lineal de espacios con producto interior b^i=g^{is}b_s
  5. lección tres: formas diferenciales d(fdx^k)=\frac{\partial f}{\partial x^s}dx^s\wedge dx^k
  6. lección cuatro: geometría diferencial de curvas \{T, N, B\}
  7. lección cinco: geometría diferencial de superficies \{\partial_1, \partial_2, \frac{\partial_1\times \partial_2}{||\partial_1\times \partial_2||}\}, \{T,\frac{\partial_1\times \partial_2}{||\partial_1\times \partial_2||},V\}
  8. leccion seis: campos de tensores U\to\oplus_k\Omega^k(TU), seen as sheaves… why not?
  9. leccion siete: \Omega=d\omega+\omega\wedge\omega

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