multilineal lección 4


geometría diferencial de curvas

  • definición de curva en \mathbb{R}^2 y \mathbb{R}^3
  • arco-parametrización \alpha=\alpha(t)=x(t)e_1+y(t)e_2+z(t)e_3 , ||\alpha'||=1
  • longitud de arco l=\int_{t_0}^t||\alpha'(u)||du=L(t,t_0)
  • trihedron móvil T=\frac{d\alpha}{dt} , N=\frac{\alpha''}{||\alpha''||} , B=T\times N
  • curvatura y torsión de una curva. Si la curva está arcoparametrizada entonces la curvatura es k=||\ddot{\alpha}(s)|| y la torsión es \tau=\frac{\langle\alpha',\alpha''\times\alpha'''\rangle}{k^2}
  • cuando la curva no está arcopametrizada tenemos: k=\frac{|r'\times r''|} {|r'|^3} y \tau={ {\langle r',r''\times r'''\rangle} \over { |r'\times r''|^2} }
  • Serret – Frenet \dot{T}=kN, \dot{N}=-kT+\tau B, \dot{B}=-\tau N

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