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origin of differential forms in Euclidean-flat R^4


read carefully:

aid

 

errata:

\left\{\frac{\partial x}{\partial x}=1,\frac{\partial x}{\partial y }=0,\frac{\partial x}{\partial z}=0,\frac{\partial x}{\partial t}=0\right\}  \longrightarrow dx=[1,0,0,0] ={\rm{grad}}(x)
\left\{\frac{\partial y}{\partial x}=0,\frac{\partial y}{\partial y}=1,\frac{\partial y}{\partial z}=0,\frac{\partial y}{\partial t}=0\right\}  \longrightarrow dy=[0,1,0,0] ={\rm{grad}}(y)
\left\{\frac{\partial z}{\partial x}=0,\frac{\partial z}{\partial y }=0,\frac{\partial z}{\partial z}=1,\frac{\partial z}{\partial t}=0\right\}  \longrightarrow dz=[0,0,1,0] ={\rm{grad}}(z)
\left\{\frac{\partial t}{\partial x}=0,\frac{\partial t}{\partial y }=0,\frac{\partial t}{\partial z}=0,\frac{\partial t}{\partial t}=1\right\}  \longrightarrow dt=[0,0,0,1] ={\rm{grad}}(t)

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re-engineering some maths


digo re-ingeniería del álgebra lineal al querer enfatizar el carácter categórico monoidal de la categoría de los espacios vectoriales sobre los números \mathbb{R}, y re-ingeniería del cálculo vectorial para remediar el remedio de los ingenieros Gibbs-Heavyside-(Adhémar Jean Claude Barré de) Saint-Venant, y substituir  grad, div, rot y Stokes por el cálculo à-la-Cartan, es decir, usando formas diferenciales.

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real elementary multilinear algebra


are the common algebraic-techniques  territory for today vector algebra and differential geometry.

This means that ancient vectorcalculus that turns into differential forms nowadays, is “super-oversimplified” into a mathematical language to phrase some modern geometricalalgebrotopologicalanalitic-maths.

Real, ‘cuz first you gotta get the ideas over the field \mathbb{R}.

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mathoverflow cucei cimat


I would like to add that the grasping of the fundamental sense for these objects and properties, are implanted around the generalization of calculus: differential forms and its applications…

the phrase was awarded with a Nice-Answer badge, which supports the fight for the differential form formalism… : )

link

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álgebra exterior y formas diferenciales


una busqueda sencilla en la red (web) para álgebra exterior dará como resultado los items de la wikipedia, que proporciona una versión ranchera en wiki.es. También ranchera es la versión wiki.en.

El item en inglés, dice que el álgebra exterior se construye a partir de la base de un espacio vectorial V={\rm gen}\{e_1,e_2,...,e_n\} y entonces

\bigwedge^0(V)=\mathbb{R}

\bigwedge^1(V)={\rm gen}\{e_i\}=V

\bigwedge^2(V)={\rm gen}\{e_i\wedge e_j\}

\bigwedge^3(V)={\rm gen}\{e_i\wedge e_j\wedge e_k\}

\bigwedge^{n-1}(V)={\rm gen}\{e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_{n-1}}\}

\bigwedge^n(V)={\rm gen}\{e_1\wedge...\wedge e_n\}

para finalmente determinar como el álgebra de Grassmann de V es:

\bigwedge(V)=\bigwedge^0(V)\oplus\bigwedge^1(V)\oplus...\oplus\bigwedge^n(V)

Esta construcción es posible. Pero al comparar contra la explicada en este web-blog hemos elegido

\bigwedge^0(V)=\mathbb{R}

\bigwedge^1(V)={\rm gen}\{e^i\}=V^*

\bigwedge^2(V)={\rm gen}\{e^i\wedge e^j\}

\bigwedge^3(V)={\rm gen}\{e^i\wedge e^j\wedge e^k\}

\bigwedge^{n-1}(V)={\rm gen}\{e^{i_1}\wedge...\wedge e^{i_{n-1}}\}

\bigwedge^n(V)={\rm gen}\{e^1\wedge...\wedge e^n\}

¿Observas la diferencia? En la f-wikipedia les da lo mismo que los vectores sean filas o columnas, a nosotros no.

Nosotros elegimos la construcción del álgebra exterior acordemente para que las formas diferenciales coincidan con las convenciones de indexación como en Flanders del 1989 en su famoso artículo: “Differential forms” en el Studies in Mathematics 27 (“Global Differential Geometry”) de la Mathematical Asociation of America.

Del tal artículo la primera página es:

¿quieres más de esto?… síguete a  flanders27-35 por aquí mismo…

Más evidencias… checa en la página 99 del “Gravitation” de Misner-Thorne-Wheeler:

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real multilinear algebra


el álgebra multilineal sobre los números reales, \mathbb{R}, incluye a las formas diferenciales euclideas, ahí uno estudia la amalgama producida por el álgebra lineal y el cálculo en varias variables. Pero además si uno dispone del lenguage elemental del álgebra tensorial de espacios vectoriales sobre los reales, es decir la categoría {\rm{Vect}}_{\mathbb{R}}, entonces uno puede incluir los principios de la geometría diferencial (de curvas y de superficies en \mathbb{R}^3) para obtener un curso realmente útil y moderno. En el mero corazón de esta teoría está el complejo de de Rham que permite construir los módulos cohomológicos del álgebra de Grassmann (módulo-C^{\infty}), de un conjunto abierto euclídeo.

 

Otra cosa es la complex multilinear algebra…

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wedge complements in finite dimension


in the next counting experiment we are going  to calculate the dimensions of some linear subspaces of the Grassmann algebra of a vector space of dimension n.

We should  be using the intuition granted by \Lambda(\mathbb{R}^n)

The definitions are:

  • C_{dx}=\{\alpha\mid \alpha\wedge dx=0\}
  • M_{dx}={C_{dx}}^{\top}
  • C_{dx\wedge dy}=\{\alpha\mid \alpha\wedge dx\wedge dy=0\}
  • M_{dx\wedge dy}={C_{dx\wedge dy}}^{\top}
  • C_{dx\wedge dy\wedge dz}
  • M_{dx\wedge dy\wedge dz}

doesn’t anybody know the name of the result?…  ‘cuz if it hasn’t, I will claim mine : )

Meanwhile, let me refrain the definition  that says:  

\Lambda(\Omega) 

is the C^{\infty}(\Omega)module over the symbols dx^1,dx^2,...,dx^n and over an open set \Omega\subseteq\mathbb{R}^n

stay tune…

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