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función contadora


sigue a contadora para ver los algunos detalles de la biyección {\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}} que etiqueta las intersecciones de líneas verticales con horizontales espacidas a distancia uno entre ellas.

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problems de álgebra moderna uno: I


Para divertirse estos días de trabajo:

https://juanmarqz.files.wordpress.com/2011/10/canonproblms.pdf

Samples:

  • Sea f:S\to T un map. Sean A,B\subset S entonces

i) ¿f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)?

Solución: Es fácil la contención f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B). La otra contención f(A\cap B)\supseteq f(A)\cap f(B) no siempre es posible: pues si t\in f(A)\cap f(B) entonces t\in f(A)  y t\in f(B), esto implica que existen c\in A y d\in B tales que f(c)=f(d)=t. Pero esto no implica que exista a\in A\cap B talque f(a)=t

ii) Sean X,Y\subset T. Demuestra f^{-1}(X\cup Y)=f^{-1}(X)\cup f^{-1}(Y)

  • La función \phi(n,m)=m+\frac{(n+m)(n+m+1)}{2}mapea {\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}. Demuestra que es una biyección. Solución.
  •  Sea f:S\to T un map sobreyectivo. Demuestra que si para cualquiera dos x,y\in S definimos: x\sim y\ \Longleftrightarrow f(x)=f(y), entonces esto determina una relación de equivalencia en S
  • Demuestra que el map {\mathbb{R}}\to (-1,1), de los reales al intervalo abierto x\in{\mathbb{R}}: -1<x<1, dando por

x\mapsto \frac{x}{1+|x|}

es una biyección. Solución: Aquí algunos detalles pero desordenados: El cero se mapea en el cero. Note que \frac{x}{1+|x|} tiene el mismo signo que x. Note también que x<1+|x| entonces |\frac{x}{1+|x|}|<1 y esto implica que el codominio es efectivamente el intervalo abierto (-1,1) o sea este map esta bien definido. Para la inyectividad hay varios casos según se elijan a,b:  ambos a,b>0 ó a,b<0 ó a<0<b ó a>0>b, pero de todos modos si a\neq b y aunque pueda suceder 1+|a|=1+|b|  tendremos \frac{a}{1+|a|}\neq \frac{b}{1+|b|}. Para la sobreyectividad sea p\in (-1,1) para el cual buscamos c\in{\mathbb{R}} talque \frac{c}{1+|c|}=p. Entonces tenemos que resolver \frac{c}{1+c}=p para p>0 o bien \frac{c}{1-c}=p para p<0. En el primer caso c=\frac{p}{1-p} y en el otro c=\frac{p}{1+p}.

  • \left(\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right),  con entradas en {\mathbb{Z}}_3
  • \left(\begin{array}{cc}2&2\\ 2&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 1&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right),  también con entradas en {\mathbb{Z}}_3

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algunos trucos matemáticos en spanish


para el inverso de la función (n,m)\mapsto m+(n+m)(n+m+1)/2 de David Íñiguez B.

http://es.wikipedia.org/wiki/Usuario:Juan_Marquez/Maniobras#Detalles

pero a grandes razgos tenemos

\phi(a,m)=\lambda

entonces

tomando la parte entera positiva del raiz t=int[\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2}]

\lambda-\frac{t(t+1)}{2}+r

\phi(t-r,r)=\lambda

—————

i.e cada diagonal tiene como primer elemento el numero \phi(n,0), y como ultimo elemento \frac{n(n+3)}{2} que es lo mismo que \phi(0,n), asì el primer elemento de la diagonal siguiente será \phi(n+1,0)= \frac{n(n+3)}{2}+1.

En el gráfico los elementos primeros de cada diagonal son: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,…, \frac{n(n+1)}{2}.

Y los elementos ultimos son: 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27,…, \frac{n(n+3)}{2}.

Dado \lambda\in\mathbb{N}, para encontrar la pareja (a,m) de este arreglo que corresponde a la posición \phi(a,m)=\lambda calculamos el cero positivo n de la siguiente ecuación
n^2+n-2\lambda=0
es decir n cumple
n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2}

en caso de que n sea entero estaremos en presencia de un número que satisface \phi(n,0)=\frac{n(n+1)}{2}=\lambda , y entonces a=n i.e \phi(a,0)=\lambda,
pero si no, ante un número n que satisface dividir a \lambda resultando \lambda=\frac{\tau(\tau+1)}{2}+r
donde r cumple 0\le r\le \tau y $\tau$ es la parte entera de n.

Si calculamos \frac{\tau(\tau+1)}{2}=\phi(\tau,0) nos damos cuenta por la naturaleza de \tau que este numero calculado \phi(\tau,0) es un primer elemento de alguna diagonal.

Es evidente que \phi(\tau+1,0) es el primer elemento de la diagonal que sigue a la diagonal cuyo primer elemento es \phi(\tau,0).

De lo anterior se deduce que el \lambda buscado es algun elemento de la diagonal cuyo primer elemento es \phi(\tau,0), i.e \phi(\tau,0)<\lambda\le \frac{\tau(\tau+3)}{2}.

Entonces si hacemos r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2} sabremos cuantos elementos tendremos que subir en contradiagonal para llegar a \lambda, asì pues al ir subiendo lugares vamos aumentando el valor de m desde m=0 hasta m=r, de igual manera al ir haciendo esto a va disminuyendo su valor desde a=\tau hasta a=\tau-r.

”En general, dado \lambda\in\mathbb{N}, , para encontrar la pareja (a,m) que satisface \phi(a,m)=\lambda, hacemos a=\tau-r y m=r.

Donde:

\tau es la parte entera de la raiz positiva de la ecuacion
n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2} ( Es claro que cuando la raiz positiva n es entera, simplemente hacemos a=n, y m=0),

y,
r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2}.”

Ejemplo.

Dado \lambda=24 encontrar (a,m) tal que \phi(a,m)=24.

La raiz positiva de n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2} , es n≈6.4462, entonces \tau=6,

r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2}, luego r=3,

entonces
a=\tau-r=6-3=3,

y m=r=3.

Por lo tanto la pareja buscada es (3,3).

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