geodésicas en una superficie desde las ecuaciones de Euler-Lagrange


Sabemos que para que un funcional A=\int_ILdt, dondeL=L(t,x^1,x'^1,x^2,x'^2), tenga un objeto crítico se debe de satisfacer:

\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial x'^1}-\frac{\partial L}{\partial x^1}=0

\frac{d}{dt}\frac{\partial  L}{\partial x'^2}-\frac{\partial L}{\partial x^2}=0

 

Vamos a demostrar que para el funcional de longitud

l=\int_0^t\sqrt{g_{ij}x'^ix'^j}du=\int_0^tFdu=\tilde{F}(t)

que, con hacer F^2=g_{ij}x'^ix'^j, implicará que  las correspondientes ecuaciones de Euler-Lagrange  sean

x''^i+{\Gamma^i}_{jk}x'^jx'^k-x'^i\ddot{l}\dot{l}^{-1}=0

Es posible calcular conceptualmente más claro, siempre.

Cuando usamos que t sea el arco-parametro entonces F=1 y \dot{F}=0 en otras palabras \dot{l}=1 y \ddot{l}=0 y así

x''^i+{\Gamma^i}_{jk}x'^jx'^k=0

dl=Fds dará \dot{l}=\frac{dl}{ds}=F que “es” en el momento que elegimos a t=s

 

Mas detalles

O un cuadro sinóptico en

 

 

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x''^i+{\Gamma^i}_{jk}x'^jx'^k=x'^i\frac{\frac{d^2s}{d^2t}}{\frac{ds}{dt}}

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2 responses to “geodésicas en una superficie desde las ecuaciones de Euler-Lagrange

  1. check:

    http://wp.me/pxpnW-11

    for the problem to calculate geodesic curvature under metric evolution…

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