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## double coset counting formula

the double coset counting formula is a relation inter double cosets $HaK$, where $a\in G$ and $H,K$ subgroups in $G$. This is:

$\#(HaK)=\frac{|H||K|}{|H\cap aKa^{-1}|}$

and

$\#(G/K)=\sum_a[H;H\cap aKa^{-1}]$

The proof is easy.

One is to be bounded to the study of the natural map $H\times K\stackrel{\phi_a}\to HaK$. And it uses the second abstraction lemma.

The formula allows you to see the kinds of subgroups of arbitrary $H$ versus $K$ a $p-SS$ of $G$, $p-SS$ for the set of the $p$– Sylow subgroups.

Or, you can see that through the action $H\times G/K\to G/K$ via $h\cdot aK=haK$ you can get:

• ${\rm Orb}_H(aK)=\{haK\}$ which comply the equi-partition
• $HaK=aK\sqcup haK\sqcup...\sqcup h_taK$, so $\#(HaK)=m|K|$, for some $m\in \mathbb{N}$
• ${\rm St}_H(aK)=H\cap aKa^{-1}$

then you can deduce:

$|G|=\sum_a\frac{|H||K|}{|H\cap aKa^{-1}|}$

Now, let us use those ideas to prove the next statement:

Let $G$ be a finite group, with cardinal $|G|=q_1^{n_1}q_2^{n_2}\cdots q_t^{n_t}$, where each $q_i$ are primes with $q_1 and $n_i$ positive integers.

Let $H$ be a subgroup of $|G|$ of index $[G:H]=q_1$.

Then, $H$ is normal.

Proof:

By employing $K=H$ in the double coset partition, one get the decomposition:

$G=HeH\sqcup Ha_1H\sqcup...\sqcup Ha_tH$

So by the double coset counting formula you arrive to:

$|G/H|=1+[H:H\cap a_1Ha_1^{-1}]+\cdots+[H:H\cap a_tHa_t^{-1}]$

i.e.

$q_1=1+\frac{|H|}{|H\cap a_1Ha_1^{-1}|}+\cdots+\frac{|H|}{|H\cap a_tHa_t^{-1}|}$

From this, we get $\frac{|H|}{|H\cap a_iHa_i^{-1}|}.

But $|G|=q_1|H|$ as well $|H|=|H\cap a_iHa_i^{-1}|[H:H\cap a_iHa_i^{-1}]$ so

$|G|=q_1|H\cap a_iHa_i^{-1}|[H:H\cap a_iHa_i^{-1}]$, i.e.

$[H:H\cap a_iHa_i^{-1}]$ divides $|G|$

Then $[H:H\cap a_iHa_i^{-1}]=1$. So $|H|=|H\cap a_iHa_i^{-1}|$ for each $a_i$.

This implies $H=H\cap a_iHa_i^{-1}$ and so $H=a_iHa_i^{-1}$ for all the posible $a_i$, hence, $H$ is normal.

QED.

sigue a contadora para ver los algunos detalles de la biyección ${\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}$ que etiqueta las intersecciones de líneas verticales con horizontales espacidas a distancia uno entre ellas.

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## categorizando 1

Considere el esquema algebraico contemporáneo de las categorías, que son leguage para describir el estado un arte matemático clásico o novedoso en términos de objetos y flechas: en

http://stats.grok.se/en/latest/Category_of_sets

nos muestra un cierto nivel de popularidad y / o utilidad del cyber-demandante promedio de hoy.

Un matemático es un profesional, aquel que estudia los sistemas deductivo-axiomáticos, sistemas formales particulares, o en abstracto o en la interelación con otros.

Ejemplos están en:

La geometría (Euclides-Hilbert, Análitica de Descartes, Diferencial de Riemann, Geométrica de Dehn, . . . );

El álgebra (grupos de Galois-Dyck, anillos de polinomios de Hilbert-Atiyah, espacios vectoriales de Hamilto-Grassmann-Cayley, grupos y álgebras de Lie, . . );

El análisis (la formalización del cálculo) de Cantor-Weierstrass-Borel o bien;

Como en las computadoras, las estadísticas, los modelos de la física, la economía, . . .
y todas las  que aspiran, otro resto de ciencias. .  .

Insistimos: La moderna organización de las matemáticas está en términos de Categoría: estructuración del conocimiento de una teoría usando dos partes; Objetos y Aplicaciones-entre-los-objetos.

Como Objetos se usan algún tipo de conjuntos, y que  simbolizaremos con $Obj$ para un objeto genérico en la Categoría.
Y también  Flechas: relaciones $f : Obj_1 \to Obj_2$,  que son aplicaciones (funciones, mapeos, transformaciones) entre los objetos de la categoría.

Como ejemplos específicos de categorías, tenemos:

• SET={ Obj=todos los conjuntos & Flech=todos los maps entre los objetos };
• EV={Obj=todos los espacios vectoriales & Flech=todas las transformaciones lineales entre espacios vectoriales};
• TOPO={Obj=todos los espacios topológicos & Flech=mapeos continuos entre espcios topológicos}

Superademás: se tienen mapeos entre categorías. Esos se llamarán functor.

hay unos functores naturales, por ejemplo:

EV $\to$ SET

o

TOPO $\to$ SET

y otros “mas complicados”…

## what is the second abstraction lemma in the mother category?

abstraction lemma two

Given a simple map $f:S\to T$ then $f$ can be factored as $f=\beta\circ\rho$ where $\rho$ is the projection $S\to S/{\sim}$ defined as $\rho(s)=[s]$ that is surjective, and $\beta:\frac{S}{\sim}\to T$ defined as $\beta([x])=f(x)$ that is injective