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geodesics, surfaces and Euler-Lagrange


can i  blatantly showed off to you what are -some friends and i- doing? There are also another beauties like this…

esquematización aproximada para “ver” donde “anda”  la curva geodésica

… let me tell that is important the next play:

l=\int_I\|C'(u)\|du

=\int_0^t\|C'(u)\|du

=\int_0^sdu=s

when C is arc – parameterized.  

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Filed under cucei math, differential equations, differential geometry, fiber bundle, geometry, low dimensional topology, math, multilinear algebra, topology, what is math

real quadratic forms


A quadratic form in an m -dimensional  real vectorspace V, is a bilineal map V\times V\to\mathbb{R} which can be determined by a m\times m-matrix A via

(v,w)\mapsto v^TAw

If we are allowed to write g(v,w)=v^TAw we can find that he (or she) possibly satisfy

  1. g(v,w)=g(w,v),  property dubbed symmetry
  2. g(v,v)\ge0, positive-definiteness
  3. g(v,v)=0 iff v=0, non-degeneracy

In case of affirmatively both three are satisfy g is called a metric on V and the pair

(V,g)

is called (real) Euclidean vectorspace…

MORE on \mathbb{R}^2

MORE on \mathbb{R}^3

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vectores, covectores, uno-formas


Todo mundo está familiarizado con el concepto de un euclidean campo vectorial, por ejemplo en \mathbb{R}^3:

F:\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{c}x+y+z^2\\xy-z^2\\x+xy+z\end{array}\right)

es decir un map cuya imagen es una combinación lineal en la base

e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right), e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)

en otras palabras

F=(x+y+z^2)e_1+(xy-z^2)e_2+(x+xy+z)e_3

Por otro lado están las combinaciones lineales de covectores básicos

dx=[1,0,0],\qquad dy=[0,1,0],\qquad dz=[0,0,1]

resultantes en objetos del tipo

\omega=(x+y+z^2)dx+(xy-z^2)dy+(x+xy+z)dz

que son combinaciones lineales de covectores básicos pero usando funciones escalares arbitrarias como componentes… éstas (como \omega de arriba),… son las uno-formas (es decir, en este ejemplo particular una uno-forma en \mathbb{R}^3). Estos, los campos de covectores, tal vez sean menos familiares entre los estudiantes del mundo, pero eventualmente van ganando popularidad y utilidad…

Usualmente, los símbolos para los conjuntos correspondientes son (ejemplificando en \mathbb{R}^3)

  • C^{\infty}(\mathbb{R}^3):  funciones escalares \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} diferenciables
  • \Lambda^1(\mathbb{R}^3)=(\mathbb{R}^3)^* covectores: combinaciones sobre \mathbb{R}
  • {\cal{X}}(A) los campos vectoriales en A, i.e funciones A\to TA, secciones del fibrado tangente TM\to M.
  • \Omega^1(\mathbb{R}^3): combinaciones lineales usando C^{\infty}-coeficientes sobre dx,\ dy,\ dz

Un siguiente grado de abstracción consiste en armar  este mismo sistema vectorial a variedades not euclideans por ejemplo (ejemplo de excelencia) a las  2-variedades de \mathbb{R}^3.

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