## cf. Frobenius forms

different companion matrices

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## double coset counting formula

the double coset counting formula is a relation inter double cosets $HaK$, where $a\in G$ and $H,K$ subgroups in $G$. This is:

$\#(HaK)=\frac{|H||K|}{|H\cap aKa^{-1}|}$

The proof is easy.

One is to be bounded to the study of the natural map $H\times K\stackrel{\phi_a}\to HaK$. And it uses the second abstraction lemma.

The formula allows you to see the kinds of subgroups of arbitrary $H$ versus $K$ a $p-SS$ of $G$, $p-SS$ for the set of the $p$- Sylow subgroups.

Or, you can see that through the action $H\times G/K\to G/K$ via $h\cdot aK=haK$ you can get:

• ${\rm Orb}_H(aK)=HaK$, and
• ${\rm St}_H(aK)=H\cap aKa^{-1}$

then you can deduce:

$|G|=\sum_a\frac{|H||K|}{|H\cap aKa^{-1}|}$

Now, let us use those ideas to prove the next statement:

Let $G$ be a finite group, with cardinal $|G|=q_1^{n_1}q_2^{n_2}\cdots q_t^{n_t}$, where each $q_i$ are primes with $q_1 and $n_i$ positive integers.

Let $H$ be a subgroup of $|G|$ of index $[G:H]=q_1$.

Then, $H$ is normal.

Proof:

By employing $K=H$ in the double coset partition, one get the decomposition:

$G=HeH\sqcup Ha_1H\sqcup...\sqcup Ha_tH$

So by the double coset counting formula you arrive to:

$|G/H|=1+[H:H\cap a_1Ha_1^{-1}]+\cdots+[H:H\cap a_tHa_t^{-1}]$

i.e.

$q_1=1+\frac{|H|}{|H\cap a_1Ha_1^{-1}|}+\cdots+\frac{|H|}{|H\cap a_tHa_t^{-1}|}$

From this, we get $\frac{|H|}{|H\cap a_iHa_i^{-1}|}.

But $|G|=q_1|H|$ as well $|H|=|H\cap H\cap a_iHa_i^{-1}|[H:H\cap a_iHa_i^{-1}]$ so

$|G|=q_1|H\cap H\cap a_iHa_i^{-1}|[H:H\cap a_iHa_i^{-1}]$, i.e.

$[H:H\cap a_iHa_i^{-1}]$ divides $|G|$

Then $[H:H\cap a_iHa_i^{-1}]=1$. So $|H|=|H\cap a_iHa_i^{-1}|$… This implies $H=H\cap a_iHa_i^{-1}$ and so $H=a_iHa_i^{-1}$ for all the posible $a_i$, i.e, $H$ is normal.

QED.

## las básicas

estas son las matemáticas antes llamadas “puras”

o no? :D

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## puntos críticos de una función suave en el círculo

En esta breve nota demostraremos que cada función $f:S^1\to{\mathbb{R}}^1$ que tenga un punto crítico aislado debe de tener otro.

Entonces supongamos que existe un punto $p$ en $S^1$ talque ${\rm grad}f(p)=\left[\frac{\partial f}{\partial x}|_p,\frac{\partial f}{\partial y}|_p\right]=\vec{0}$, pero si elegimos la parametrización $\phi:\ ]0,2\pi[\longrightarrow S^1$ dada por $t\longmapsto\left(\begin{array}{c}\cos(t)\\ \\ \sin(t)\end{array}\right)$, entonces tenemos una función $g=f\circ\phi$ para la cual, la regla de la cadena implica que $g'=f'(\phi)\phi'$ satisface

$\frac{d g}{dt}|_{t_0}=\left[\frac{\partial f}{\partial x}|_p,\frac{\partial f}{\partial y}|_p\right]\left(\begin{array}{c}-\sin\\ \\ \cos\end{array}\right)_{|_{t_0}}$

i.e.

$\frac{d g(t_0)}{dt}=-\frac{\partial f(p)}{\partial x}\sin(t_0)+\frac{\partial f(p)}{\partial y}\cos(t_0)$

entonces si ${\rm grad}f(p)=\vec{0}$ tendremos $\frac{d g(t_0)}{dt}=0$, en otras palabras $g$ tiene puntos críticos en $t_0$ y en $t_0+2\pi$.

Pero además $g(t_0)=f\circ\phi(t_0)=f(p)$ tanto como

$g(t_0+2\pi)=f\circ\phi(t_0+2\pi)=f\circ\phi(t_0)=f(p)$

es decir $g(t_0)=g(t_0+2\pi)$ y entonces –por el teorema de Rolle– existe $t_1$ en el intervalo abierto $]t_0,t_0+2\pi[$ talque $\frac{d g(t_1)}{dt}=0$.

Pero si nos restringimos a $S^1\setminus\{p\}$ entonces $f=g\circ\phi^{-1}$,
y así (también por la regla de la cadena) tenemos ${\rm grad}f=\frac{dg}{dt}\ {\rm grad}\ \phi^{-1}$ i.e.

$\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right]=\frac{dg}{dt}\left[\frac{\partial\phi^{-1}}{\partial x},\frac{\partial\phi^{-1}}{\partial y}\right]$

que evaluando en $t_1$ implica

$\frac{\partial f(q)}{\partial x}=\frac{dg(t_1)}{dt}\frac{\partial\phi^{-1}(q)}{\partial x}=0$

tanto como

$\frac{\partial f(q)}{\partial y}=\frac{dg(t_1)}{dt}\frac{\partial\phi^{-1}(q)}{\partial y}=0$

por lo tanto ${\rm grad}f(q)=\vec{0}$, donde $q\neq p$ $\Box$

critical points of functions on the circle

## álgebra lineal 2

segundo curso de afianzamiento de los conceptos de espacio vectorial y de transformación lineal entre espacios vectoriales:

1) convención de la matriz de una transformación lineal

3) subespacios invariantes

4) polinomios

5) formas canónicas

6) espacios con producto escalar

7) formas bilineales

estaremos informando…

Una matriz es un arreglo: $[a_{ij}]=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} &...& a_{1m} \\ a_{21} & a_{22}&&\\ \vdots &&\ddots&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} &...& a_{nm}\end{array}\right)$

pero hay variaciones :D

$[{a^i}_j]=\left(\begin{array}{cccc}{a^1}_1& {a^1}_2&...& {a^1}_m\\{a^2}_1&{a^2}_2&&\\\vdots &&\ddots&\vdots\\{a^n}_1&{a^n}_2&...&{a^n}_m\end{array}\right)$

esta indexación es utilizada a la hora de mapear un vector, algo como $x\mapsto Ax$, donde $Ax$ es  multiplicación..

Pero mientras tenemos:

Así…

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## need more?

¿necesitas o requieres un tema en particular? si es alrededor de álgebra multilineal, anímate a interaccionar. También tenemos topología de dimensiones bajas y más…

## Levi-Civita tensor

to see

$\varepsilon^i\wedge\varepsilon^j\wedge\varepsilon^k\wedge\varepsilon^l(e_s,e_t,e_u,e_v)={\varepsilon^{ijkl}}_{stuv}$

since we are requiring “canonical” duality, i.e.  covectors, $\varepsilon^k:V\to R$, do

$\varepsilon^k(e_l)={\delta^k}_l$.

one uses

$\varepsilon^i\!\wedge\!\varepsilon^j\!\wedge\!\varepsilon^k\!\wedge\!\varepsilon^l\!=\!\!\sum_{\sigma\in S_4}\!(\!-1\!)^{\sigma}\!\varepsilon^{\sigma(i)}\!\otimes\!\varepsilon^{\sigma(j)}\!\otimes\!\varepsilon^{\sigma(k)}\!\otimes\!\varepsilon^{\sigma(l)}$