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gradient of a scalar on a surface


This image represent how to calculate the gradient of a scalar function f:\Sigma\to\mathbb{R}, a measurement on a surface (surface1 , surface2 or surface3)

On the final two lines you gotta remember that the notation Xf means \langle X,{\rm grad}f\rangle which is also equals to \langle {\rm grad}f,X\rangle, this, codes how f varies relatively to X vector or vector field, see

Remember also that \Omega is an open set of \mathbb{R}^2 and  \Phi is injective with jacobian J\Phi having rank two “along” \Omega

With this device you can transport the Euclidean calculus in \mathbb{R}^2 to calculus in the surface \Sigma\subset\mathbb{R}^3

See how the chain rule is adapted: J(f\circ\Phi)=Jf\cdot J\Phi, from where we can evaluate: J(f\circ\Phi)(a)=Jf(\Phi(a))\cdot J\Phi(a)… What are \partial_1,\partial_2 here?

As a nontrivial example consider the notion of round functions

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Vektorraum und seines Dualraum sind wie Hasen


Zwei natürlich vektorräume V und seines Dualraum V^* entstanden wie Hasen, ein Überfluß von Vektoren räume sind ist, wenn wir sein tensorprodukt bedenken. Zum Beispiel, der zwei-Rang sind  Räume

V\otimes V, V\otimes V^* und V^*\otimes V^*

Aber drei-Rang  sind  V\otimes V\otimes V,V\otimes V\otimes V^*,V\otimes V^*\otimes V^* und V^*\otimes V^*\otimes V^* und so weiter…

Eine gute Übung soll feststellen, welches ihre Basis und zu ist, bestimmen, wie die Bauteile für jedes Element in einem besonderen räume ändern, wenn wir uns die Basis ändern

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