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is it enough…


that the presentation given by

\langle A,B\ :\ A^2=B^3,\quad A^2B=BA^2,\quad A^4=e,\quad B^6=e\rangle

determines the group SL_2({\mathbb{Z}}/{3\mathbb{Z}})?

Similar question for

\langle A,B,C:

A^2=B^3,

A^2B=BA^2,

A^4=B^6= C^2=e,

AC=CA,BC=CB\rangle

for the group GL_2({\mathbb{Z}}/{3\mathbb{Z}}).

Other similar problems but less “difficult” are:

  • \langle\varnothing:\varnothing\rangle=\{e\}
  • \langle A\ :\ A^2=e\rangle  for  \mathbb{Z}_2
  • \langle A\ :\ A^3=e\rangle  for  \mathbb{Z}_3
  • \langle A\ :\ A^4=e\rangle  for  \mathbb{Z}_4
  • \langle A,B\ :\ A^2=e, B^2=e, AB=BA\rangle  for  \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2
  • \langle A,B\ :\ A^2=e, B^3=e, AB=B^2A\rangle  for  S_3
  • \langle A,B\ :\ A^2=e, B^3=e, AB=BA\rangle  for  \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3
  • \langle A:\varnothing\rangle it is \mathbb{Z}
  • \langle A,B:AB=BA\rangle  is \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}
  • \langle A,B:\varnothing\rangle  is \mathbb{Z}*\mathbb{Z}, the rank two free group
  • \langle A,B,J:(ABA)^4=e,ABA=BAB\rangle for SL_2(\mathbb{Z})
  • \langle A,B,J:(ABA)^4=J^2=e,ABA=BAB, JAJA=JBJB=e \rangle for GL_2(\mathbb{Z})
  • \langle A,B:A^2=B^3=e \rangle for P\!S\!L_2(\mathbb{Z})=SL_2(\mathbb{Z})/{\mathbb{Z}_2}\cong{\mathbb{Z}}_2*{\mathbb{Z}}_3
  • dare altri venti esempi
Qual è il tuo preferito?

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categorizando 1


Considere el esquema algebraico contemporáneo de las categorías, que son leguage para describir el estado un arte matemático clásico o novedoso en términos de objetos y flechas: en

http://stats.grok.se/en/latest/Category_of_sets

nos muestra un cierto nivel de popularidad y / o utilidad del cyber-demandante promedio de hoy.

Un matemático es un profesional, aquel que estudia los sistemas deductivo-axiomáticos, sistemas formales particulares, o en abstracto o en la interelación con otros.

Ejemplos están en:

La geometría (Euclides-Hilbert, Análitica de Descartes, Diferencial de Riemann, Geométrica de Dehn, . . . );

El álgebra (grupos de Galois-Dyck, anillos de polinomios de Hilbert-Atiyah, espacios vectoriales de Hamilto-Grassmann-Cayley, grupos y álgebras de Lie, . . );

El análisis (la formalización del cálculo) de Cantor-Weierstrass-Borel o bien;

Como en las computadoras, las estadísticas, los modelos de la física, la economía, . . .
y todas las  que aspiran, otro resto de ciencias. .  .

Insistimos: La moderna organización de las matemáticas está en términos de Categoría: estructuración del conocimiento de una teoría usando dos partes; Objetos y Aplicaciones-entre-los-objetos.

Como Objetos se usan algún tipo de conjuntos, y que  simbolizaremos con Obj para un objeto genérico en la Categoría.
Y también  Flechas: relaciones f : Obj_1 \to Obj_2,  que son aplicaciones (funciones, mapeos, transformaciones) entre los objetos de la categoría.

Como ejemplos específicos de categorías, tenemos:

  • SET={ Obj=todos los conjuntos & Flech=todos los maps entre los objetos };
  • EV={Obj=todos los espacios vectoriales & Flech=todas las transformaciones lineales entre espacios vectoriales};
  • TOPO={Obj=todos los espacios topológicos & Flech=mapeos continuos entre espcios topológicos}

Superademás: se tienen mapeos entre categorías. Esos se llamarán functor.

hay unos functores naturales, por ejemplo:

EV \to SET

o

TOPO \to SET

y otros “mas complicados”…

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at cucei


follow the links to find pdfs on álgebra:

http://quantum.cucei.udg.mx/~jmarquez/

there, there are the lecciones cero:

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local math brochures


Follow the links to get acquainted with the contents what we will work this semester.

They are

Also, let me feedback you mentioning the topics which can be get into it to work on thesis (B.Sc. or M.Sc.) or else

  • differential geometry
  • differential topology
  • low dimensional topology
  • algebra  and analysis
  • sum of reciprocal inverses integers problem

These are fun  really!

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pascal key


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à la Riesz


sabiendo que b^i=g^{si}b_s y que \beta^i(b_j)={\delta^i}_j tanto como \langle b^i,b_j\rangle={\delta^i}_j, entonces

\beta(\quad)=\langle b^i,\quad\rangle

o bien

\beta(X)=\langle b^i,X\rangle

para todo X\in V

 

Ahora para un covector arbitrario f\in V^* se tiene:

f(\quad)

f(X)=f(X^sb_s)=X^sf(b_s)   ————–  (A)

v.s.

f(b_s)\beta^s(\quad)

f(b_s)\beta^s(X)=f(b_s)\langle b^s,X\rangle

=f(b_s)\langle b^s,X^tb_t\rangle

=f(b_s)X^t\langle b^s,b_y\rangle

=f(b_s)X^t{\delta^s}_t

=f(b_s)X^s   —————  (B)

/..\!\!\cdot   (A,B)

f(\quad)=f(b_s)\beta^s(\quad)
=f(b_s)\langle b^s,\quad\rangle
=\langle f(b_s)b^s,\quad\rangle

o bien

f(X)=f(b_s)\beta^s(X)
=f(b_s)\langle b^s,X\rangle
=\langle f(b_s)b^s,X\rangle

para todo X\in V.

Es decir el representante del covector fà la Riesz- es:

f(b_s)b^s

esto es una combinación lineal en la base recíproca b^i de V, which represent the basic covectors \beta^i

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mini big bang at europe


lead ions.

such temperatures haven’t occurred in the universe since shortly after the big bang.

gluons and quarks.

quark-gluon plasma.

raising the chance of head to head proton’s collisions.

more

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