Category Archives: numbers

triangular, central binomial, tribis (tribinomiales), erdös-borwein, catalan, fibo, iñiguez, sum-series and taylors,

SL_2(Z_3) again


this group is great,… if you don’t believe checkout:

http://finitegeometry.org/sc/pg/dt/visu.html

there, it is its supergroup GL_2(Z_3).

the missing matrix in this photo is \left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&2\end{array}\right)

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Filed under algebra, group theory, numbers, what is math

the greatest common divisor exists!


for the sake of all of us, let us assert and demonstrate:

\forall a,b\in{\mathbb{Z}} the GCD(a,b) exists and its is unique

Proof:

Consider the auxiliar set T_{ab}=\{am+bn>0\ :\ m,n\in{\mathbb{Z}}\}

as a piece of {\mathbb{N}} there exists c=\min\ T_{ab}.

But if c\in T_{ab} then c=a\mu+b\nu for some \mu,\nu\in{\mathbb{Z}}.

We are going to check that c satisfy the GCD for a,b:

Claim: c|a

Applying the divisions’ algorithm to this  pair we get

a=ct+r with 0\le r<c

Since r=a-ct=a-(a\mu+b\nu)t=a(1-\mu t)+b(-\nu t)\ge0

If r>0 then r\in T_{ab} and 0<r<c.

This contradicts the choice for c, then r=0 and the claim follows.

Similarly c|b.

So c is a common divisor of a,b.

Uniqueness:

Now suppose that d is a positive integer that d|a, d|b and for any other l which divides a,b implies l|d.

Then, since c divides both a,b then c|d.

Additionally d|a,\ d|b implies d|a\mu,\ d|b\nu and d|(a\mu+b\nu), hence d|c

Then c|d and d|c. That is d=\pm c, but d=c is the only possible.

\Box

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pascal key


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Filed under Catalan numbers, cucei math, math analysis, mathematics, numbers, sum of reciprocals

algunos trucos matemáticos en spanish


para el inverso de la función (n,m)\mapsto m+(n+m)(n+m+1)/2 de David Íñiguez B.

http://es.wikipedia.org/wiki/Usuario:Juan_Marquez/Maniobras#Detalles

pero a grandes razgos tenemos

\phi(a,m)=\lambda

entonces

tomando la parte entera positiva del raiz t=int[\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2}]

\lambda-\frac{t(t+1)}{2}+r

\phi(t-r,r)=\lambda

—————

i.e cada diagonal tiene como primer elemento el numero \phi(n,0), y como ultimo elemento \frac{n(n+3)}{2} que es lo mismo que \phi(0,n), asì el primer elemento de la diagonal siguiente será \phi(n+1,0)= \frac{n(n+3)}{2}+1.

En el gráfico los elementos primeros de cada diagonal son: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,…, \frac{n(n+1)}{2}.

Y los elementos ultimos son: 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27,…, \frac{n(n+3)}{2}.

Dado \lambda\in\mathbb{N}, para encontrar la pareja (a,m) de este arreglo que corresponde a la posición \phi(a,m)=\lambda calculamos el cero positivo n de la siguiente ecuación
n^2+n-2\lambda=0
es decir n cumple
n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2}

en caso de que n sea entero estaremos en presencia de un número que satisface \phi(n,0)=\frac{n(n+1)}{2}=\lambda , y entonces a=n i.e \phi(a,0)=\lambda,
pero si no, ante un número n que satisface dividir a \lambda resultando \lambda=\frac{\tau(\tau+1)}{2}+r
donde r cumple 0\le r\le \tau y $\tau$ es la parte entera de n.

Si calculamos \frac{\tau(\tau+1)}{2}=\phi(\tau,0) nos damos cuenta por la naturaleza de \tau que este numero calculado \phi(\tau,0) es un primer elemento de alguna diagonal.

Es evidente que \phi(\tau+1,0) es el primer elemento de la diagonal que sigue a la diagonal cuyo primer elemento es \phi(\tau,0).

De lo anterior se deduce que el \lambda buscado es algun elemento de la diagonal cuyo primer elemento es \phi(\tau,0), i.e \phi(\tau,0)<\lambda\le \frac{\tau(\tau+3)}{2}.

Entonces si hacemos r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2} sabremos cuantos elementos tendremos que subir en contradiagonal para llegar a \lambda, asì pues al ir subiendo lugares vamos aumentando el valor de m desde m=0 hasta m=r, de igual manera al ir haciendo esto a va disminuyendo su valor desde a=\tau hasta a=\tau-r.

”En general, dado \lambda\in\mathbb{N}, , para encontrar la pareja (a,m) que satisface \phi(a,m)=\lambda, hacemos a=\tau-r y m=r.

Donde:

\tau es la parte entera de la raiz positiva de la ecuacion
n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2} ( Es claro que cuando la raiz positiva n es entera, simplemente hacemos a=n, y m=0),

y,
r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2}.”

Ejemplo.

Dado \lambda=24 encontrar (a,m) tal que \phi(a,m)=24.

La raiz positiva de n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2} , es n≈6.4462, entonces \tau=6,

r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2}, luego r=3,

entonces
a=\tau-r=6-3=3,

y m=r=3.

Por lo tanto la pareja buscada es (3,3).

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and the generating function?


Well, in the previous post we were talking of the infinite sum of the Catalan numbers’  inverses, now let me tell you that the same method, but with x^n included,  gonna give you the generating funcion

\frac{2\,\left( {\sqrt{4-x}}\,\left(8+x\right)+12\,{\sqrt{x}}\,\arctan (\frac{{\sqrt{x}}}{{\sqrt{4 - x}}}) \right) }{\sqrt{\left( 4 - x \right)^5}}

Yes, she (the formula) expands about the origin as

1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{5}+\frac{x^4}{14}+\frac{x^5}{42}+\frac{x^6}{132}+\frac{x^7}{429}+\cdots

cool! isn’t it?  By the way do not try to reproduce the expansion without software because just at first derivative you gonna get angry enough to want to pull your hair away! This function is not completely new at all -but strangely- it is hard to find it explicitly in the modern math literature.

A next Frage is: what the heck is it good for? : )

Exercise: insert (-1)^nx^n in the beta fuction method explained earlier and tell me what you get… bye

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Filed under Catalan numbers, math, numbers, sum of reciprocals