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reflector circle at a punctured torus


Sea T_o un toro 2-dimensional donde hemos removido un disco cerrado,
sea S=T_o\cup_{\partial}\bar{A} donde \bar{A} es aro S^1\times I con S^1\times 0 es la frontera
de una “vecindad” de una curva cerrada simple reflectora, y S^1\times 1 como la curva reflectora. Tal “aro reflector”, \bar{A} tiene como^ orbifold – grupo fundamental a \pi_1(\bar{A})=\Bbb{Z}\times{\Bbb{Z}}_2. Entonces el producto amalgamado es:

reflector circle

reflector circle

Esto es divertido por que es bien sabido que la superficie cerrada de género tres no orientable,  N_3 tiene presentación parecida a esta última.

Observemos que las respectivas abelianizaciones son \mathbb{Z}^2+\mathbb{Z}_2

Entonces es ¿cierto o no qué el concepto de curva reflectora dado por P.Scott no sea el mismo que el de curva reflectora en una superficie no orientable?

Recuerde que, poner una curva reflectora a una superficie orientable es para hacer una superficie no orientable de tipo T\#\cdots\#T\#{\Bbb{R}}P^2 de género impar, donde T es el toro 2D.

^ footnote{Ref[P. Scott en 424p. “The Geometries of 3-Manifolds“, 1983]}

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