Monthly Archives: October 2011

actualizado:


https://juanmarqz.wordpress.com/2011/10/06/problems-de-algebra-moderna-uno-i/

Uno debe acostumbrase a leer mucho,

pero no será provechoso si no se practica: leer y entender.

Uno no nace con esta habilidad de por sí,

pero esto  sí es posible desarrollar,

si le pones persistencia.

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SL_2(Z/3Z), aliquis ordo


hae sunt matrices (estas son las matrices):

a=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&0\end{array}\right) , b=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&1\end{array}\right) , ba^3b=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&2\end{array}\right)

a^3=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&0\end{array}\right) , bab=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&1\end{array}\right) , a^2b=\left(\begin{array}{cc}0&2\\ 1&2\end{array}\right)

e=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right) , a^2ba=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 1&1\end{array}\right) , (ba)^2=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 2&1\end{array}\right)

(ab)^2=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right) , b^2ab=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&2\end{array}\right) , a^3ba=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 2&0\end{array}\right)

a^3b=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 0&1\end{array}\right) , a^2b^2=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 1&0\end{array}\right) , bab^2=\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 2&2\end{array}\right)

a^2=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 0&2\end{array}\right) , ab^2=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 1&2\end{array}\right) , ba=\left(\begin{array}{cc}2&0\\ 2&2\end{array}\right)

ab=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 0&2\end{array}\right) , b^2aba=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 1&1\end{array}\right) , b^2=\left(\begin{array}{cc}2&1\\ 2&0\end{array}\right)

b^2a=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 0&2\end{array}\right) , aba=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 1&0\end{array}\right) abab^2=\left(\begin{array}{cc}2&2\\ 2&1\end{array}\right)

… ante hoc dictionary

Nunc, possibile est quod haec propositio quaerere:

\langle a,b\ :\ a^4=e, b^6=e, a^2b=ba^2\rangle

  • is it possible that: a^2b=ba^2 together with a^4=e and b^6=e they imply a^2=b^3?

http://en.wikipedia.org/wiki/File:SL%282,3%29;_Cayley_table.svg

for more on Cayley tables go

Cayley

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.nov.2011)

Usando la teoría básica de grupos podremos construir un subgrupo de 12 elementos usando un subgrupo de orden tres y otro subgrupo de orden cuatro:

Con H=\langle p|p^3=e\rangle y con K=\langle q|q^4=e\rangle armamos HK. Así HK tendrá 12 elementos y pues H\cap K=\{e\}.

Chéquelo con p=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right)  y q=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 1&2\end{array}\right).

El que queriamos armar usando \langle\{a^2,b\}\rangle, no funciona para obtener un subgrupo de 12 elementos,  pues porque, sabiendo a^2=b^3, tendremos \langle a^2\rangle<\langle b\rangle y por lo tanto \langle\{a^2,b\}\rangle=\langle b\rangle.

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función contadora


sigue a contadora para ver los algunos detalles de la biyección {\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}} que etiqueta las intersecciones de líneas verticales con horizontales espacidas a distancia uno entre ellas.

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math-marqz a’lgebra


ha sido muy grato ver la cantidad de descargas de los documentos relativos a la multilineal y moderna uno, que por aquí se encuentran : )

Es ultra-grato servirle.

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SL_2(Z_3) again


this group is great,… if you don’t believe checkout:

http://finitegeometry.org/sc/pg/dt/visu.html

there, it is its supergroup GL_2(Z_3).

the missing matrix in this photo is \left(\begin{array}{cc}0&1\\ 2&2\end{array}\right)

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problems de álgebra moderna uno: I


Para divertirse estos días de trabajo:

https://juanmarqz.files.wordpress.com/2011/10/canonproblms.pdf

Samples:

  • Sea f:S\to T un map. Sean A,B\subset S entonces

i) ¿f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)?

Solución: Es fácil la contención f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B). La otra contención f(A\cap B)\supseteq f(A)\cap f(B) no siempre es posible: pues si t\in f(A)\cap f(B) entonces t\in f(A)  y t\in f(B), esto implica que existen c\in A y d\in B tales que f(c)=f(d)=t. Pero esto no implica que exista a\in A\cap B talque f(a)=t

ii) Sean X,Y\subset T. Demuestra f^{-1}(X\cup Y)=f^{-1}(X)\cup f^{-1}(Y)

  • La función \phi(n,m)=m+\frac{(n+m)(n+m+1)}{2}mapea {\mathbb{N}}\times{\mathbb{N}}\to{\mathbb{N}}. Demuestra que es una biyección. Solución.
  •  Sea f:S\to T un map sobreyectivo. Demuestra que si para cualquiera dos x,y\in S definimos: x\sim y\ \Longleftrightarrow f(x)=f(y), entonces esto determina una relación de equivalencia en S
  • Demuestra que el map {\mathbb{R}}\to (-1,1), de los reales al intervalo abierto x\in{\mathbb{R}}: -1<x<1, dando por

x\mapsto \frac{x}{1+|x|}

es una biyección. Solución: Aquí algunos detalles pero desordenados: El cero se mapea en el cero. Note que \frac{x}{1+|x|} tiene el mismo signo que x. Note también que x<1+|x| entonces |\frac{x}{1+|x|}|<1 y esto implica que el codominio es efectivamente el intervalo abierto (-1,1) o sea este map esta bien definido. Para la inyectividad hay varios casos según se elijan a,b:  ambos a,b>0 ó a,b<0 ó a<0<b ó a>0>b, pero de todos modos si a\neq b y aunque pueda suceder 1+|a|=1+|b|  tendremos \frac{a}{1+|a|}\neq \frac{b}{1+|b|}. Para la sobreyectividad sea p\in (-1,1) para el cual buscamos c\in{\mathbb{R}} talque \frac{c}{1+|c|}=p. Entonces tenemos que resolver \frac{c}{1+c}=p para p>0 o bien \frac{c}{1-c}=p para p<0. En el primer caso c=\frac{p}{1-p} y en el otro c=\frac{p}{1+p}.

  • \left(\begin{array}{cc}1&1\\ 0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right),  con entradas en {\mathbb{Z}}_3
  • \left(\begin{array}{cc}2&2\\ 2&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&2\\ 1&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right),  también con entradas en {\mathbb{Z}}_3

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