algunos trucos matemáticos en spanish


para el inverso de la función (n,m)\mapsto m+(n+m)(n+m+1)/2 de David Íñiguez B.

http://es.wikipedia.org/wiki/Usuario:Juan_Marquez/Maniobras#Detalles

pero a grandes razgos tenemos

\phi(a,m)=\lambda

entonces

tomando la parte entera positiva del raiz t=int[\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2}]

\lambda-\frac{t(t+1)}{2}+r

\phi(t-r,r)=\lambda

—————

i.e cada diagonal tiene como primer elemento el numero \phi(n,0), y como ultimo elemento \frac{n(n+3)}{2} que es lo mismo que \phi(0,n), asì el primer elemento de la diagonal siguiente será \phi(n+1,0)= \frac{n(n+3)}{2}+1.

En el gráfico los elementos primeros de cada diagonal son: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,…, \frac{n(n+1)}{2}.

Y los elementos ultimos son: 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27,…, \frac{n(n+3)}{2}.

Dado \lambda\in\mathbb{N}, para encontrar la pareja (a,m) de este arreglo que corresponde a la posición \phi(a,m)=\lambda calculamos el cero positivo n de la siguiente ecuación
n^2+n-2\lambda=0
es decir n cumple
n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2}

en caso de que n sea entero estaremos en presencia de un número que satisface \phi(n,0)=\frac{n(n+1)}{2}=\lambda , y entonces a=n i.e \phi(a,0)=\lambda,
pero si no, ante un número n que satisface dividir a \lambda resultando \lambda=\frac{\tau(\tau+1)}{2}+r
donde r cumple 0\le r\le \tau y $\tau$ es la parte entera de n.

Si calculamos \frac{\tau(\tau+1)}{2}=\phi(\tau,0) nos damos cuenta por la naturaleza de \tau que este numero calculado \phi(\tau,0) es un primer elemento de alguna diagonal.

Es evidente que \phi(\tau+1,0) es el primer elemento de la diagonal que sigue a la diagonal cuyo primer elemento es \phi(\tau,0).

De lo anterior se deduce que el \lambda buscado es algun elemento de la diagonal cuyo primer elemento es \phi(\tau,0), i.e \phi(\tau,0)<\lambda\le \frac{\tau(\tau+3)}{2}.

Entonces si hacemos r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2} sabremos cuantos elementos tendremos que subir en contradiagonal para llegar a \lambda, asì pues al ir subiendo lugares vamos aumentando el valor de m desde m=0 hasta m=r, de igual manera al ir haciendo esto a va disminuyendo su valor desde a=\tau hasta a=\tau-r.

”En general, dado \lambda\in\mathbb{N}, , para encontrar la pareja (a,m) que satisface \phi(a,m)=\lambda, hacemos a=\tau-r y m=r.

Donde:

\tau es la parte entera de la raiz positiva de la ecuacion
n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2} ( Es claro que cuando la raiz positiva n es entera, simplemente hacemos a=n, y m=0),

y,
r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2}.”

Ejemplo.

Dado \lambda=24 encontrar (a,m) tal que \phi(a,m)=24.

La raiz positiva de n=\frac{-1+\sqrt{1+8\lambda}}{2} , es n≈6.4462, entonces \tau=6,

r=\lambda-\frac{\tau(\tau+1)}{2}, luego r=3,

entonces
a=\tau-r=6-3=3,

y m=r=3.

Por lo tanto la pareja buscada es (3,3).

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Filed under algebra, math analysis, numbers, topology

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