acerca de un problema della examinazione


estabamos calculando \nabla_{C'}F, que corresponde a

  • una curva \alpha:I\to\Omega
  • una superficie \Phi:\Omega\to\Sigma
  • la curva C=\Phi\!\circ\!\alpha
  • y un campo vectorial en el ambiente  F:{\mathbb{R}}^3\to{\mathbb{R}}^3

Preguntar por \nabla_{C'}F es determinar como varía F intrínseco a la curva en la superficie.

Para calcularle  necesitamos D_{C'}F=\nabla_{C'}F+\langle D_{C'}F, N\rangle N

Una aproximación es considerar la composición F\!\!\circ\!\Phi\!\circ\!\alpha, pues

F\!\!\circ\!\Phi\!\circ\!\alpha=F\!\!\circ\!C

y entonces (F\!\!\circ\!\Phi\!\circ\!\alpha)'=(F\!\!\circ\!C)'=JF\cdot C'=D_{C'}F, que es como varía F con respecto a la curva C considerando el ambiente.

 

Veamos incluido el gráfico que marca la dirección normal:

Finalmente la base tangente \partial_1,\quad\partial_2

La respuesta genéricamente hablando será:

sabemos que queremos encontrar \nabla_{C'}F=D_{C'}F-\langle D_{C'}F,N\rangle N, pero usando C'=v'\partial_1+w'\partial_2 tenemos:

\nabla_{C'}F=\nabla_{v'\partial_1+w'\partial_2}F

=v'\nabla_{\partial_1}F+w'\nabla_{\partial_2}F

donde

\nabla_{\partial_1}F=D_{\partial_1}F-\langle D_{\partial_1}F ,N\rangle N

\nabla_{\partial_2}F=D_{\partial_2}F-\langle D_{\partial_2}F ,N\rangle N

i.e.

\nabla_{\partial_1}F=F_{,1}-\langle F_{,1} ,N\rangle N

\nabla_{\partial_2}F=F_{,2}-\langle F_{,2} ,N\rangle N

teniendo en cuenta F=F^se_s implica F_{,k}=\frac{\partial}{\partial v^k}(F^s)e_s,  en el {\mathbb{R}}^3 con respecto a la superficie en cuestión.

.

.

.

.. C^{o}

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