simu exam


  1. Si la superficie \Sigma esta parametrizada por ve_1+we_2\to wE_1+vE_2+(v^2-w^2)E_3  -y-  p=E_1+2E_2+3E_3 es una posición de prueba, entonces calcula \nabla_FG cuando F(v,w)=v\partial_1+vw\partial_2 y G(v,w)=\partial_1+(v^2-w)\partial_2 en p
  2. Calcula todos los símbolos {\Gamma^i}_{jk} de la superficie \Sigma del problema anterior
  3. Si tenemos el campo vectorial  F=w\partial_1+v^2w\partial_2 en una superficie, entonces calcula: \nabla_FF la proyección tangente de D_FF, pero ahora en el paraboloide vE_1+wE_2+(v^2+w^2)E_3, en cualquier posición de la superficie
  4. Para no andar sufriendo al  calcular \nabla_FG uno necesita un procedimiento genérico dado por:

\nabla_FG=\nabla_{F^s\partial_s}(G^t\partial_t)

\qquad=F^s\nabla_{\partial_s}(G^t\partial_t)

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}\partial_t+G^t\nabla_{\partial_s}\partial_t]

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}\partial_t+G^t{\Gamma^u}_{st}\partial_u]

\qquad=F^s[{G^t}_{,s}+G^u{\Gamma^t}_{su}]\partial_t

así que los componentes de \nabla_FG son:

F^s{G^t}_{,s}+F^sG^u{\Gamma^t}_{su}

esto último dice: como varía G en dirección F  -mas-  como interactúan -estos- en la geometría de la superficie…

 

5. Para demostrar que {\Gamma^A}_{BC}=\frac{1}{2}g^{AS}[g_{SC,B}+g_{BS,C}-g_{BC,S}], utilizamos la regla de Leibniz X\langle Y,Z\rangle=\langle D_XY,Z\rangle+\langle Y,D_XZ\rangle que particularizado

\partial_K\langle\partial_L,\partial_M\rangle=\langle D_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,D_{\partial_K}\partial_M\rangle

\partial_Kg_{LM}=\langle D_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,D_{\partial_K}\partial_M\rangle

Usando la ecuación de Gauss D_{\partial_K}\partial_L=\nabla_{\partial_K}\partial_L+\langle D_{\partial_K}\partial_L,N\rangle N entonces

g_{LM,K}=\langle \nabla_{\partial_K}\partial_L,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,\nabla_{\partial_K}\partial_M\rangle

g_{LM,K}=\langle {\Gamma^S}_{KL}\partial_S,\partial_M\rangle+\langle \partial_L,{\Gamma^S}_{KM}\partial_S\rangle

g_{LM,K}={\Gamma^S}_{KL}\langle\partial_S,\partial_M\rangle+{\Gamma^S}_{KM}\langle \partial_L,\partial_S\rangle

g_{LM,K}={\Gamma^S}_{KL}g_{SM}+{\Gamma^S}_{KM}g_{LS}

Ahora habría que ensamblar y simplificar g_{IJ,K}+g_{KI,J}-g_{KJ,I} . . .

 

6. Una curva C=C(t) en una superficie \Phi:\Omega\hookrightarrow\Sigma  queda especificada cuando decimos un map \alpha(t)=v(t)e_1+w(t)e_2 en \Omega y entonces C=\Phi\circ\alpha. Como C'=J\Phi\cdot\alpha' entonces

C'=v'\partial_1+w'\partial_2

C' representa el vector tangente a la curva C y arriba dice cuales son los componentes de C'\in T_p\Sigma. Entonces calcula los componentes de

  • D_{C'}C'… ¿son estos iguales a los componentes de  C''?
  • \nabla_{C'}C'

Se sabe desde hace 130 años aproximadamente que si la curva C satisface \nabla_{C'}C'=0 entonces la curva C tiene la propiedad de ser longitud de arco minimizante a lo largo de los puntos sobre los que camina, i.e. una geodésica. Los componentes de \nabla_{C'}C' -igualados a cero- son las mismas ecuaciones que provienen de la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar las funciones críticas de funcionales de la forma

A=\int_IF(x(t),x'(t),t)dt

donde se buscan las condiciones mediante las cuales x(t) extremize a A. Para la longitud de una curva en una superficie este funcional es con F=\sqrt{g_{\mu\nu}v'^{\mu}v'^{\nu}}

 

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Filed under cucei math, differential geometry, geometry, multilinear algebra

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