vectores, covectores, uno-formas


Todo mundo está familiarizado con el concepto de un euclidean campo vectorial, por ejemplo en \mathbb{R}^3:

F:\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{c}x+y+z^2\\xy-z^2\\x+xy+z\end{array}\right)

es decir un map cuya imagen es una combinación lineal en la base

e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right), e_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)

en otras palabras

F=(x+y+z^2)e_1+(xy-z^2)e_2+(x+xy+z)e_3

Por otro lado están las combinaciones lineales de covectores básicos

dx=[1,0,0],\qquad dy=[0,1,0],\qquad dz=[0,0,1]

resultantes en objetos del tipo

\omega=(x+y+z^2)dx+(xy-z^2)dy+(x+xy+z)dz

que son combinaciones lineales de covectores básicos pero usando funciones escalares arbitrarias como componentes… éstas (como \omega de arriba),… son las uno-formas (es decir, en este ejemplo particular una uno-forma en \mathbb{R}^3). Estos, los campos de covectores, tal vez sean menos familiares entre los estudiantes del mundo, pero eventualmente van ganando popularidad y utilidad…

Usualmente, los símbolos para los conjuntos correspondientes son (ejemplificando en \mathbb{R}^3)

  • C^{\infty}(\mathbb{R}^3):  funciones escalares \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} diferenciables
  • \Lambda^1(\mathbb{R}^3)=(\mathbb{R}^3)^* covectores: combinaciones sobre \mathbb{R}
  • {\cal{X}}(A) los campos vectoriales en A, i.e funciones A\to TA, secciones del fibrado tangente TM\to M.
  • \Omega^1(\mathbb{R}^3): combinaciones lineales usando C^{\infty}-coeficientes sobre dx,\ dy,\ dz

Un siguiente grado de abstracción consiste en armar  este mismo sistema vectorial a variedades not euclideans por ejemplo (ejemplo de excelencia) a las  2-variedades de \mathbb{R}^3.

4 Comments

Filed under algebra, differential geometry, multilinear algebra

4 responses to “vectores, covectores, uno-formas

  1. Amadeus

    ¿A qué se refieren los fibrados tangentes y cotangentes?

    • un fibrado es una construcción topológica consistente en un “esquema”

      F\subset E\stackrel{p}\to B

      donde F se le llama la fibra del fibrado, E es espacio total del fibrado, B la base del fibrado y a p:E\to B la proyección del fibrado. Se debe tener que existen abiertos U_i, una cubierta abierta de la base

      p^{-1}U_i son homeomorfos a F\times U_i

      esto es llamado axioma de trivialidad local…

      El fibrado tangente de un espacio (manifold) M (de dimensión n) es TM que satisface lo de arriba, pero así:

      \mathbb{R}^n\subset TM\to M.

      Para el cotangente esto:

      \mathbb{R}^n\subset TM^*\to M.

      Estas construcciones permiten establecer de una manera bien precisa los conceptos de campos vectoriales (y campo de covectores) en espacios más generales (manifolds) que sólo espacios euclídeos…

  2. k-qit

    * a set C^{\infty}(U) of all differentiable functions U\stackrel{f}\to\mathbb{R} on a set U

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    * a bundle is a epi-submersion B(M)\stackrel{p}\to M

    ——————————————————————————————————————————————————

    * a section on a bundle is: M\stackrel{X}\to B(M)\stackrel{p}\to M, p\circ X=Id_{M}

    ——————————————————————————————————————————————————

    * the example of the tangent bundle TM\stackrel{p}\to M and a vector field as a section M\stackrel{X}\to TM

    ——————————————————————————————————————————————————

    * the example of the electromagnetic field on a (perhaps euclidean-modeled) region U

    U\stackrel{F}\to \Omega^2(U),

    \Omega^2(U)={\rm gen}_{C^{\infty}(U)}\{dx^{\alpha}\wedge dx^{\beta},\quad 0\le \alpha,\beta\le\dim U\},

    F=F_{ab}dx^a\wedge dx^b,

    dF=0

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