finite group theorems


Cauchy-Sylow

ultimate Sylow theorems version

 An optimal guide for the proof of the Sylow’s theorem is offered. You must be acquainted with these concepts:

  • group-action,  G\times X\to X with (g,x)\mapsto g\bullet x
  • orbit-of-an-element, {\rm{Orb}}(x)=\{y\in X:g\bullet x=y,\exists g\in G\}
  • stabilizer,  {\rm{St}}(x)=\{g\in G:g\bullet x=x\}
  • bijection {\rm{Orb}}(x)\leftrightarrow G/{\rm{St}}(x) 
  • action-class-count,  \#X=\sum_{x_j}\#{\rm{Orb}}(x_j)
  • class-equation, \#X=\sum_{x_j}[G:{\rm{St}}(x_j)] 
  • and conjugation-class-equation o(G)=o(Z(G))+\sum_{x_j\notin Z(G)}[G:Z(x_j)]

 Now let p be a prime integral number. Then two aplications of that machinery are:

  1. if  o(G)=p^n  with n>1, then the center o(Z(G))>1  
  2. if o(G)=p^2, then G is abelian

Lemma: if a^p=e in any group then o(a)=p

The following sequence gonna take you to the mastery of a celebrated results on the theory of finite groups: 

1. Cauchy (abelian) Theorem:

  • Let p be a prime integral number
  • let G be a finite abelian group
  • p|o(G)

Then \exists a\in G : o(a)=p.

PROOF:

The proof is inductive: we are going to admit that the proposition is true \forall A abelian such that o(A)<o(G)

Let b\in G\setminus\{e\} and q=o(b). Then consider two cases: either p|q or p\not|q.

1-[p|q]: q=mp. c:=b^m. c^p=(b^m)^p=b^q=e. o(c)=p

2-[p\not|q]: 1=p\mu+q\nu. o(\frac{G}{\langle b\rangle})=\frac{o(G)}{q}=r. r=rp\mu+rq\nu=rp\mu+o(G)\nu=p(r\mu+s\nu) where o(G)=ps. p|o(G/\langle b\rangle). \exists X\in G/\langle b\rangle such that o(X)=pX=d\langle b\rangle. o(d)=l. X^l=d^l\langle b\rangle=e\langle b\rangle. l=pu+t where 0\le t<p. X^t=e\langle b\rangle. l=pu. f:=d^u. f^p=(d^u)^p=d^l=e. o(f)=p.

\Box

 

2. Sylow I

  • p prime
  • G\in finite abelian : p^n|o(G)

Then \exists H<G : o(H)=p^n

PROOF:

The  proof is based on double induction that is, we are going to accept the validity of proposition for any group \Gamma  such that o(\Gamma)<o(G) and on n.

[(n=1)]: Let o(G)=pm where p\not|m. Consider the two cases: either  p|o(Z) or p\not|o(Z).

1-[p|o(Z)]: since Z is abelian then \exists c\in Z such that o(c)=p.  So, \langle c\rangle <Z<G with o(\langle c\rangle)=p.

2-[p\not|o(Z)]: since o(Z)=o(G)-\sum_{\notin Z(G)}[G:Z(x_j)] then x_s\notin Z such that  p\not|[G:Z(x_s)]. Then p,[G:Z(x_s)] are coprime. 1=p\mu+\frac{o(G)}{o(Z(x_s))}\nu. o(Z(x_s))=po(Z(x_s))\mu+o(G)\nu=p(o(Z(x_s))\mu+m\nu). p|o(Z(x_s)). \exists H<Z(x_s) : o(H)=p

[(n=2)]: Let o(G)=p^2m be, where p\not|m. Consider again the two cases: either  p|o(Z) or p\not|o(Z).

1-[p|o(Z)]: \exists c\in Z such that o(\langle c\rangle)=p. o(G/\langle c\rangle)=pm, so \exists K<G/\langle c\rangle with o(K)=p. With the natural epimorphism \eta:G\to G/\langle c\rangle find H=\eta^{-1}K. \eta|_H:H\to K is also an epimorphism with \ker\eta=\langle c\rangle. By the first fundamental homomorphisms theorem  H/\langle c\rangle\cong K then o(H)=p^2.

 2-[p\not|o(Z)]: this implies p^2\not|o(Z). Since o(Z)=o(G)-\sum_{\notin Z(G)}[G:Z(x_j)] then x_s\notin Z such that  p^2\not|[G:Z(x_s)], so they are coprime. 1=p^2\mu+\frac{o(G)}{o(Z(x_s))}\nu. o(Z(x_s))=p^2o(Z(x_s))\mu+o(G)\nu=p^2(o(Z(x_s))\mu+m\nu). p^2|o(Z(x_s)). \exists H<Z(x_s)<G : o(H)=p^2

 Now the induction on n is clear

\Box

 

Definition of a p-Sylow subgroup

3. Sylow II:

  • Q,R\in{\rm{p\!\!-\!\!SS(G)}}

Then \exists a\in G : a^{-1}Qa=R

PROOF: …              

 

\Box

 

4. Sylow III:

  • if S\!\!S=\{P<G :P\in{\rm{p\!\!-\!\!SS(G)}}\}

Then \# S\!\!S\equiv 1\mod p  and   \#S\!\!S|o(G)

PROOF: …              

 

\Box

11 responses to “finite group theorems

  1. mee-ket

    uff… faltó una importante:
    pág. 19: en los dos últimos lemas debemos tener por hipótesis normalidad i.e. poner H\lhd A_n en lugar de H<A_n

  2. mee-ket

    Bien, eso debía salir… solo resta una más
    pág. 20: en la demostración del teorema de simplicidad de A_n,\:n>4 en el caso 3 debe ser \alpha^2=(a_1 a_3 a_2)

  3. mee-ket

    el error sigue ahi…veamos esta vez que sale
    pág. 17 (Teorema) Al finalizar el primer párrafo de la demostración es A_n\lhd S_n en vez de A_n< S_n
    pág. 18 (Lema): El segundo mapeo debe decir
    (b_1,...,b_m)\cdot{}\theta_x = \left\{ \begin{array}{c l}   \theta_x & si\ \theta_x \not\in \{b_1,...,b_m\}\\   b_{1+i} & si\ \theta_x=b_i \end{array} \right.
    en lugar de
    (b_1,...,b_m)\cdot{}\theta_x = \left\{ \begin{array}{c l}   \theta_x & si\ x \not\in \{b_1,...,b_m\}\\   b_{1+i} & si\ \theta_x=b_i \end{array} \right.

  4. mee-ket

    Hay un error en el mensaje enterior por alguna exraña razón se consumió un buena parte del mensaje aqui va el resto (espero que salga):
    pág. 17 (Teorema) Al finalizar el primer párrafo de la demostración es A_n\lhd S_n en vez de A_n4 en el caso 3 debe ser \alpha^2=(a_1 a_3 a_2)

  5. mee-ket

    Con el fin de ayudar a mejorar las notas del curso de algebra moderna III (en el cual se discuten entre otras cosas los teoremas anteriores) aqui van una serie de observaciones a partir de una primer revisión:

    Pág. 3 (renglón 7): Redundancia el escribir x_0\in X
    Pág. 4 (segundo lema): Con el fin de enfatizar el hecho de que el conjunto de órbitas de la acción de un grupo sobre un conjunto determinan en este un “partición” se sugiere utilizar unión disjunta en la ecuación i.e. X=\displaystyle\bigsqcup_{j} Orb(x_{j})
    Pág. 4 (último renglón): Se hace referencia al “lema 1″ sería bueno etiquetarlos quizá…
    Pág. 9 (teorema Sylow III) se hace referencia al ejercicio 5 del capítulo de acciones, sim embargo esta referencia es para el documento de solo grupos sería bueno agregarlo…
    pág. 10 (teorema Sylow III): desde la página 9 se comienza la demostración considerando \left | P \right |= p^n , pero después en la página 10 se cambia la n por m en el resto de la misma…
    pág. 11(definición de kernel): se escribe KerT=\left\{x\in G : Tg = Te\right\} donde hay que cambiar Tg por Tx …
    pág. 11 (renglón 18): Mezcla de mayúsculas en la frase: Pero “Si” \left | G \right |= p\left | H \right |
    pág. 17 (Teorema) Al finalizar el primer párrafo de la demostración es A_n\lhd S_n en vez de A_n4 en el caso 3 debe ser \alpha^2=(a_1 a_3 a_2)
    pág. 20: en la demostración del teorema de simplicidad de A_n,\:n>4 en el caso 4 se hace referenia al “lema 4″ pero los lemas no están etiquetados…

    Espero que esto le sirva de algo profe y disculpe por el “cochinero” que le he dejado pero es ke apenas comienzo con lenguaje latex, si usted tiene el poder de borrarlos sería bueno que lo hiciera… espero al rato exhibir ejercicios donde se apliquen los Sylow (aunque no se si vaya a salir bien este mensaje…:()

  6. if H_i<G with i=1,2,...,r and
    H_i\cap H_j=\{e\}

    then

    \langle (H_1\cup\cdots\cup H_k)\cup H_{k+1}\rangle=H_1H_2\cdots H_{k+1},

    for each 1<k<r

  7. mee-ket

    if

    H_1\cap H_2=\{e\}

    H_1\cap H_3=\{e\}

    H_2\cap H_3=\{e\}

    then

    \langle (H_1\cup H_2)\cup H_3\rangle=(H_1H_2)H_3=H_1H_2H_3

  8. mee-ket

    if

    H_1\cap H_2=\{e\}

    then

    \langle H_1\cup H_2\rangle=H_1H_2

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